Всички формули за НВО по математика, 7-ми клас (5-ти, 6-ти и 7-ми клас). Пълен справочник с обяснения

Когато се подготвяш за националното външно оценяване (НВО) по математика в 7 клас, един от първите въпроси е прост: кои формули за НВО по математика ще получа на изпита и кои трябва да знам наизуст? Важно е да направиш това разграничение навреме, защото то определя как да се подготвиш.

В тази статия събрах всички формули, които ти трябват за НВО – официалните, които Министерството на образованието и науката (МОН) разрешава на самия изпит, плюс тези от 5. и 6. клас, които не се дават на изпита, но са необходими за решаване на задачите.

Но има една уловка: формулата сама по себе си не решава задачата.

Ако не знаеш кога да я използваш, какво означават буквите в нея и какви грешки най-често се допускат, дори готовият лист с формули няма да ти помогне достатъчно.

Затова тази статия не е просто списък с формули. Тя е справочник с обяснения: ще видиш какво означава всяка важна формула, кога се използва, кратък пример и типична грешка, която трябва да избягваш.

📄 В края на статията ще намериш компактен PDF справочник за изтегляне и разпечатване.

Защо не е достатъчно само да имаш формулите

Много ученици се успокояват с мисълта: „Щом формулите са дадени, няма нужда да ги уча.“ Това е опасна заблуда.

На изпита проблемът рядко е само в това, дали знаеш формулата. По-често проблемът е в едно от следните неща:

• не разпознаваш коя формула ти трябва;
• бъркаш буквите във формулата;
• заместваш грешни стойности;
• не внимаваш с мерните единици;
• използваш формула за лице, когато задачата пита за периметър;
• използваш формула за повърхнина, когато задачата пита за обем;
• забравяш, че при неравенства знакът се обръща при умножение или деление с отрицателно число.

Листът с формули е помощ, но не е заместител на мисленето.

Най-добрият начин да използваш формулите е следният:

1. Прочети няколко пъти внимателно задачата.
2. Разбери какво се търси.
3. Определи какъв тип задача е.
4. Избери подходящата формула.
5. Замести внимателно.
6. Провери дали отговорът има смисъл.

Виж как се решават текстови задачи по математика за 7-ми клас: Как се решават текстови задачи по математика за НВО за 7-ми клас (пълно ръководство с примери)

Официални алгебрични формули за НВО по математика, разрешени от МОН

Това е пълният списък, който се раздава заедно с изпита. Източникът е официалният документ на Министерството на образованието и науката.

1. Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение са едни от най-важните алгебрични формули в 7ми клас. Те се използват при:

• пресмятане на изрази;
• преобразуване на многочлени;
• разлагане на множители;
• решаване на уравнения;
• задачи с параметри или числови изрази.

1.1. Квадрат на сбор:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Какво означава?

Когато имаш сбор в скоби, повдигнат на квадрат, не можеш просто да повдигнеш всяко число на квадрат и готово.

Типична грешка: Много ученици пропускат средния член.

Грешно е: $(а+b)^2=a^2+b^2$

Запомни: при квадрат на сбор винаги има три члена.

Пример:

(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3²
(x + 3)² = x² + 6x + 9

1.2. Квадрат на разлика:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Какво означава?

Формулата прилича на квадрат на сбор, но средният член е отрицателен.

Пример:

(x - 5)² = x² - 2 · x · 5 + 5²
(x - 5)² = x² - 10x + 25

Типична грешка:

Грешно е: (x – 5)² = x² – 25

Това е грешка, защото ученикът е повдигнал на квадрат само първия и втория член, без да отчете средния член.

Правилно:

$(x - 5)² = x² - 10x + 25$

1.3. Разлика на квадрати:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Кога се използва?

Тази формула се използва, когато имаш разлика между два квадрата.

Ключовият знак е минус между два израза, които са квадрати.

Примери:

x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3)

25a² - 16 = (5a)² - 4² = (5a - 4)(5a + 4)

Типична грешка:

Грешно е: x² + 9 = (x + 3)(x – 3)

Това не е вярно, защото формулата е за разлика, а не за сбор.

Формулата работи при:

x² - 9

Не работи по същия начин при:

x² + 9

1.4. Куб на сбор:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Кога се използва?

Когато сбор в скоби е повдигнат на трета степен.

Пример:

(x + 2)³ = x³ + 3x² · 2 + 3x · 2² + 2³, т.е.
(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

Типична грешка:

Грешно е: (x + 2)³ = x³ + 8

Това е същият тип грешка като при квадрат на сбор – пропускат се средните членове.

1.5. Куб на разлика:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Пример:

(x - 2)³ = x³ - 3x² · 2 + 3x · 2² - 2³, т.е.
(x - 2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8

Типична грешка:

Най-честата грешка е със знаците.

При куб на разлика знаците се редуват:

+   -   +   -

Така:

a³ - 3a²b + 3ab² - b³

1.6. Сбор и разлика на кубове:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Как да ги запомниш?

Първата скоба следва знака между кубовете.

При сбор:

a³ + b³ → (a + b)

При разлика:

a³ - b³ → (a - b)

Във втората скоба знаците се променят по определен модел.

Пример:

x³ - 8 = x³ - 2³, т.е.
x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4)

Типична грешка:

Грешно е: x³ – 8 = (x – 2)(x² – 2x + 4)

Правилно:

$x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4)$

При разлика на кубове във втората скоба средният член е положителен.

2. Абсолютна стойност (модул) на число

Модулът на число показва разстоянието на това число до нулата върху числовата права.

$|a| = \begin{cases} -a, & \text{ако } a < 0 \\ 0, & \text{ако } a = 0 \\ a, & \text{ако } a > 0 \end{cases}$

Пример:

|3| = 3
|-3| = 3
|0| = 0

Модулът винаги е неотрицателно число. Той отговаря на въпроса:

На колко единици е числото от 0?

Числото -3 е на 3 единици от 0. Затова:

|-3| = 3

Пример:

|x| = 4

Това означава, че x може да бъде:

x = 4

или

x = -4

Типична грешка:

Грешно е: | – 7| = –7

Правилно:

$|-7| = 7$

3. Степени

Ако a $\neq$ 0 и b $\neq$ 0 са рационални числа, а m и n са цели числа:

3.1. Умножение на степени с равни основи:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Пример:

x³ · x² = x⁵

Защото:

x³ = x · x · x
x² = x · x 
и тогава следва, че
x³ · x² = x · x · x · x · x = x⁵

Типична грешка:

Грешно е: x³ · x² = x⁶

Тук ученикът е умножил показателите, но при умножение на степени с еднаква основа показателите се събират.

3.2. Деление на степени с равни основи:

$a^m : a^n = a^{m-n}$

при a ≠ 0.

Пример:

x⁷ : x³ = x⁴

Типична грешка:

Грешно е: x⁷ : x³ = x²¹

При деление не умножаваш показателите. Изваждаш ги.

3.3. Степен на степен:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Пример:

(x²)³ = x⁶

Типична грешка:

Грешно е: (x²)³ = x⁵

При степен на степен показателите се умножават, не се събират.

3.4. Отрицателна степен:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

при a ≠ 0.

Пример:

$2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8$

Типична грешка:

Грешно е: 2⁻³ = -8

Отрицателната степен не означава, че резултатът е отрицателен. Тя означава, че степента отива в знаменателя.

3.5. Степен на произведение:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Пример:

(2x)³ = 2³x³ = 8x³

Типична грешка:

Грешно е: (2x)³ = 2x³

Числото 2 също трябва да се повдигне на трета степен.

3.6. Степен на частно

Когато дроб е повдигната на степен, степента се отнася и за числителя, и за знаменателя.

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \quad b\ne0$

Пример:

$\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$

Типични грешки:

$\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{4}$

Тук е повдигнат на квадрат само числителят.

$\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3}{16}$

Тук е повдигнат на квадрат само знаменателят.

Правилно:

$\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}$

Запомни: ако цялата дроб е в скоби, степента важи за цялата дроб.

3.7. Нулева степен:

$a^0 = 1$

при a ≠ 0.

Пример:

7⁰ = 1

(-3)⁰ = 1

Типична грешка:

Грешно е: 7⁰ = 0

Всяко ненулево число на нулева степен е 1.

4. Вероятност на случайно събитие

$P = \frac{\text{брой благоприятни изходи}}{\text{брой на всички възможни изходи}}$

Какво означава?

Вероятността показва какъв е шансът дадено събитие да се случи.

Пример:

Хвърляш стандартен зар.

Каква е вероятността да се падне число 6?

Благоприятни изходи:

1

Всички възможни изходи:

6

Следователно:

P = 1/6

Друг пример:

В кутия има:

3 червени топки
5 сини топки
2 зелени топки

Общо топки:

3 + 5 + 2 = 10

Вероятността да изтеглиш синя топка е:

P = 5/10 = 1/2

Типична грешка:

Да се преброят само благоприятните изходи, но не и всички възможни изходи.

Вероятността винаги е дроб:

благоприятни / всички

Официални формули за геометрични фигури за НВО по математика, разрешени на от МОН

На НВО по математика в 7. клас част от геометричните формули са дадени като помощен материал. Това обаче не означава, че задачата ще бъде лесна. В повечето случаи трудността не е в самата формула, а в това да разбереш:

• коя фигура имаш;
• какво се търси – лице, периметър, радиус, височина, диагонал;
• кои данни са дадени;
• коя формула е подходяща;
• дали използваш правилната височина, страна или диагонал.

5. Формули за триъгълник

5.1. Периметър на произволен триъгълник:

$P = a + b + c$

Какво означава формулата

Периметърът е обиколката на триъгълника. Намира се, като събереш трите страни.

• $a$, $b$, $c$ са страните на триъгълника;
• $P$ е периметърът.

Пример:

Ако страните на триъгълник са:

$a=6 \text{ cm}, \quad b=8 \text{ cm}, \quad c=10 \text{ cm}$

тогава:

$P=6+8+10=24 \text{ cm}$

Типична грешка:

Да се използва формула за лице вместо формула за периметър.

Периметърът се измерва в линейни единици:

$\text{cm}, \text{ dm}, \text{ m}$

а лицето се измерва в квадратни единици:

$\text{cm}^2, \text{ dm}^2, \text{ m}^2$

5.2. Лице на произволен триъгълник:

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

където $h_a$, $h_b$ и $h_c$ са височините на триъгълника съответно към страните a, b и c.

Какво означава формулата:

Лицето на триъгълник се намира, като умножиш страна по височината към нея и разделиш на 2.

Много важно:

• ако използваш страна $a$, трябва да използваш височината $h_a$;
• ако използваш страна $b$, трябва да използваш височината $h_b$​;
• ако използваш страна $c$, трябва да използваш височината $h_c$​.

Пример:

Ако:

$a=12 \text{ cm}, \quad h_a=5 \text{ cm}$

тогава:

$S=\frac{12\cdot5}{2}=\frac{60}{2}=30 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се умножи страна с височина, която не е към тази страна.

Грешно мислене:

$S=\frac{a\cdot h_b}{2}$

Правилно:

$S=\frac{a\cdot h_a}{2}$

Височината винаги трябва да отговаря на избраната страна.

5.3. Лице на правоъгълен триъгълник:

$S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

където $a$ и $b$ са катетите.

В позволения лист може да се срещне и записът:

$S=\frac{c\cdot h_c}{2}$

където $c$ е хипотенузата, а $h_c$​ е височината към хипотенузата.

Какво означава:

При правоъгълен триъгълник двата катета са перпендикулярни. Затова единият катет може да се разглежда като основа, а другият – като височина.

Пример:

Ако катетите са:

$a=6 \text{ cm}, \quad b=8 \text{ cm}$

тогава:

$S=\frac{6\cdot8}{2}=\frac{48}{2}=24 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се умножи катет по хипотенуза вместо катет по катет.

Грешно:

$S=\frac{a\cdot c}{2}$

Правилно:

$S=\frac{a\cdot b}{2}$

ако $a$ и $b$ са катетите.

5.4. Питагорова теорема:

$c^2 = a^2 + b^2$

Какво означава

Питагоровата теорема важи само за правоъгълен триъгълник.

• $a$ и $b$ са катети;
• $c$ е хипотенуза;
• хипотенузата е страната срещу правия ъгъл;
• хипотенузата е най-дългата страна.

Пример:

Ако:

$a=3 \text{ cm}, \quad b=4 \text{ cm}$

тогава:

$c^2=3^2+4^2$

$c^2=9+16=25$

$c=5 \text{ cm}$

Типична грешка:

Да се сбърка хипотенузата.

Грешно:

$a^2=b^2+c^2$

ако $c$ всъщност е хипотенузата.

Правилно:

$c^2=a^2+b^2$

Преди да използваш формулата, винаги намери страната срещу правия ъгъл.

6. Формули за четириъгълници

6.1. Успоредник

6.1.1. Периметър на успоредник:

$P = 2a + 2b$

или:

P=2(a+b)

Какво означава:

При успоредника срещуположните страни са равни. Затова периметърът е сборът от двете страни, взет два пъти.

Пример:

Ако:

$a=7 \text{ cm}, \quad b=4 \text{ cm}$

тогава:

$P=2(7+4)=2\cdot11=22 \text{ cm}$

Типична грешка:

Да се използва формулата за квадрат:

P=4a

Това е вярно, само ако всички страни са равни. При обикновен успоредник имаш две различни страни.

6.1.2. Лице на успоредник:

$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Какво означава:

Лицето на успоредник се намира, като страна умножим по височината към нея.

• ако използваш страна $a$, използваш височина $h_a$​;
• ако използваш страна $b$, използваш височина $h_b$​.

Пример:

Ако:

$a=10 \text{ cm}, \quad h_a=6 \text{ cm}$

тогава:

$S=10\cdot6=60 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се умножат двете страни:

$S=a\cdot b$

Това е формула за правоъгълник, но не е обща формула за успоредник.

При успоредник ти трябва страна и височина към нея:

$S=a\cdot h_a$

6.2. Ромб

6.2.1. Периметър на ромб:

$P = 4a$

Какво означава:

Ромбът е успоредник с четири равни страни. Затова периметърът е четири пъти страната.

Пример:

Ако:

$a=5 \text{ cm}$

тогава:

$P=4\cdot5=20 \text{ cm}$

Типична грешка:

Да се мисли, че ромбът задължително е квадрат.

Всеки квадрат е ромб, но не всеки ромб е квадрат. При ромба страните са равни, но ъглите не е задължително да са прави.

6.2.2. Лице на ромб чрез страна и височина:

$S = a \cdot h$

Какво означава:

Както при успоредника, лицето на ромба може да се намери като страна по височина.

Пример:

Ако:

$a=8 \text{ cm}, \quad h=3 \text{ cm}$

тогава:

$S=8\cdot3=24 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се използва за ромб формулата за квадрат:

$S=a^2$

Това е вярно само ако ромбът е квадрат. При обикновен ромб трябва да използваш:

$S=a\cdot h$

или формулата с диагоналите.

6.2.3. Лице на ромб чрез диагонали:

$S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$

Какво означава:

Лицето на ромб може да се намери и чрез диагоналите му.

• $d_1$​ е единият диагонал;
• $d_2$​ е другият диагонал.

Пример:

Ако:

$d_1=12 \text{ cm}, \quad d_2=7 \text{ cm}$

тогава:

$S=\frac{12\cdot7}{2}=\frac{84}{2}=42 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се забрави делението на 2.

Грешно:

$S=d_1\cdot d_2$

Правилно:

$S=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$

6.3. Квадрат

6.3.1. Периметър на квадрат:

$P = 4a$

Какво означава:

Квадратът има четири равни страни, затова периметърът е четири пъти по страната.

Пример:

Ако:

$a=9 \text{ cm}$

тогава:

$P=4\cdot9=36 \text{ cm}$

Типична грешка:

Да се даде лице вместо периметър.

Периметър:

P=4a

Лице:

$S=a^2$

6.3.2. Лице на квадрат:

$S = a^2$

Какво означава:

Лицето на квадрат е страната, умножена сама по себе си.

Пример:

Ако:

$a=6 \text{ cm}$

тогава:

$S=6^2=36 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се сметне:

S=4a

Това е периметър, не лице.

6.3.3. Лице на квадрат чрез диагонал:

$S = \frac{1}{2} d^2$

Какво означава:

Ако е даден диагоналът на квадрата, лицето може да се намери чрез квадрата на диагонала, разделен на 2.

Пример:

Ако:

$d=10 \text{ cm}$

тогава:

$S=\frac{10^2}{2}=\frac{100}{2}=50 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се използва:

$S=d^2$

Това би било вярно, ако $d$ беше страна, но диагоналът не е страна.

Правилно:

$S=\frac{d^2}{2}$

6.4. Трапец

Лице на трапец:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Какво означава:

Лицето на трапец се намира, като събереш двете основи, умножиш по височината и разделиш на 2.

• $a$ и $b$ са основите;
• $h$ е височината.

Пример:

Ако:

$a=14 \text{ cm}, \quad b=8 \text{ cm}, \quad h=5 \text{ cm}$

тогава:

$S=\frac{(14+8)\cdot5}{2}$ или

$S=\frac{22\cdot5}{2}$

$S=55 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се забрави делението на 2.

Грешно:

$S=(a+b)\cdot h$

Правилно:

$S=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$

Друга честа грешка е, да се използва бедро вместо основа. Във формулата участват двете основи на трапеца, не произволни две страни.

7. Формули за окръжност и кръг

Тук трябва да се прави много ясна разлика.

Окръжност е линията.
Кръг е вътрешната област.

7.1. Дължина на окръжност:

$C = 2 \pi r$

или:

$C=\pi d$

Какво означава:

Тази формула намира дължината на линията около кръга.

• $r$ е радиус;
• $d$ е диаметър;
• $d=2r$.

Пример:

Ако:

$r=4 \text{ cm}$

тогава:

$C=2\pi\cdot4=8\pi \text{ cm}$

Ако използваш $\pi \approx 3{,}14$π≈3,14:

$C\approx8\cdot3{,}14=25{,}12 \text{ cm}$

Типична грешка:

Да се използва формулата за лице:

$S=\pi r^2$

когато задачата пита за дължина на окръжност.

Дължина на окръжност:

$C=2\pi r$

7.2. Лице на кръг:

$S = \pi r^2$

Какво означава:

Тази формула намира площта на кръга.

Пример:

Ако:

$r=5 \text{ cm}$

тогава:

$S=\pi\cdot5^2=25\pi \text{ cm}^2$

Ако използваш $\pi \approx 3{,}14$π≈3,14:

$S\approx25\cdot3{,}14=78{,}5 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се забрави квадратът на радиуса.

Грешно:

$S=\pi r$

Правилно:

$S=\pi r^2$

Още една честа грешка: ако е даден диаметър, първо трябва да намериш радиуса.

Ако:

$d=10 \text{ cm}$

тогава:

$r=5 \text{ cm}$

и чак тогава:

$S=\pi\cdot5^2=25\pi \text{ cm}^2$

Кратка таблица за раздела формули за геометрични фигури за НВО по математика, разрешени на от МОН

Официални формули за пространствени тела за НВО по математика, разрешени на от МОН

При телата най-важното е да различаваш:

• околна повърхнина;
• пълна повърхнина;
• обем.

Това е една от зоните с най-много грешки. Затова преди да използваш формула, винаги си задай въпроса:

Задачата пита за площ отвън или за пространство вътре?

Ако пита за боядисване, облепване, хартия, ламарина, етикет, покритие – обикновено търсиш лице на повърхнина.

Ако пита за вместимост, вода, въздух, съдържание, обем на тяло – търсиш обем.

8. Правоъгълен паралелепипед

Правоъгълният паралелепипед е тяло с три различни измерения:

• дължина $a$;
• ширина $b$;
• височина $c$.

8.1. Лице на околна повърхнина на правоъгълен паралелепипед:

Правоъгълният паралелепипед има:

• две основи;
• четири странични стени.

Околната повърхнина включва само страничните стени, без основите.

Ако основата на правоъгълния паралелепипед е правоъгълник със страни $a$ и $b$, а височината е $c$, тогава лицето на околната повърхнина е:

$S_1 = 2c(a + b)$

или:

$S_{\text{околна}}=2c(a+b)$

Може да се запише и така:

$S_{\text{околна}}=P_{\text{осн.}}\cdot c$

където:

$c$ е височината на паралелепипеда.

$P_{\text{осн.}}$ е периметърът на основата.

Какво означава формулата:

Представи си, че правоъгълният паралелепипед е кутия без горна и долна основа. Остават само четирите странични стени.

Тези стени са:

• две стени с лице $a\cdot c$;
• две стени с лице $b\cdot c$.

Затова:

$S_{\text{околна}}=ac+ac+bc+bc$

или:

$S_{\text{околна}}=2ac+2bc$

Ако изнесеш $2c$, получаваш:

$S_{\text{околна}}=2c(a+b)$

Пример:

Даден е правоъгълен паралелепипед с размери:

$a=8 \text{ cm}, \quad b=5 \text{ cm}, \quad c=6 \text{ cm}$

Намери лицето на околната повърхнина.

Използваме формулата:

$S_{\text{околна}}=2c(a+b)$

Заместваш:

$S_{\text{околна}}=2\cdot6(8+5)$

$S_{\text{околна}}=12\cdot13$

$S_{\text{околна}}=156 \text{ cm}^2$

Същият пример чрез страничните стени:

Можеш да го сметнеш и така:

$S_{\text{околна}}=2ac+2bc$

$S_{\text{околна}}=2\cdot8\cdot6+2\cdot5\cdot6$

$S_{\text{околна}}=96+60$

$S_{\text{околна}}=156 \text{ cm}^2$

Двата начина дават един и същ резултат.

Типична грешка 1: Добавят се и основите

Грешно:

$S_{\text{околна}}=2ab+2ac+2bc$

Това е формулата за пълна повърхнина, не за околна повърхнина.

Правилно:

$S_{\text{околна}}=2ac+2bc$

Околната повърхнина не включва двете основи.

Типична грешка 2: Използва се лице на основата вместо периметър на основата

Грешно:

$S_{\text{околна}}=B\cdot c$

Това е грешно за околна повърхнина.

Правилното мислене е:

$S_{\text{околна}}=P_{\text{осн.}}\cdot c$

Понеже основата е правоъгълник:

$P_{\text{осн.}}=2(a+b)$

следователно:

$S_{\text{околна}}=2(a+b)\cdot c$

Типична грешка 3: Умножават се само две измерения

Грешно:

$S_{\text{околна}}=a\cdot c$

Това е лице само на една странична стена, не на цялата околна повърхнина.

Правилно:

$S_{\text{околна}}=2ac+2bc$

8.2. Лице на повърхнина на правоъгълен паралелепипед:

$S = 2(ab + bc + ca)$

Какво означава формулата:

Правоъгълният паралелепипед има 6 стени, но те са по двойки еднакви:

• две стени с лице $ab$;
• две стени с лице $bc$;
• две стени с лице $ac$.

Затова лицето на повърхнината на правоъгълен паралелепипед е:

$S=2ab+2bc+2ac$

Пример:

Ако:

$a=6 \text{ cm}, \quad b=4 \text{ cm}, \quad c=3 \text{ cm}$

тогава:

$S=2\cdot6\cdot4+2\cdot4\cdot3+2\cdot6\cdot3$

$S=48+24+36=108 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се използва формулата за обем вместо формула за повърхнина.

Грешно:

$S=a\cdot b\cdot c$

Правилно:

$S=2ab+2bc+2ac$

Друга честа грешка е да се пропусне една двойка стени.

$S_{\text{околна}}=2c(a+b)$

S=2ab+2ac+2bc

$S=S_{\text{околна}}+B$

8.4. Обем на правоъгълен паралелепипед:

$V = a \cdot b \cdot c$

Какво означава формулата

Обемът се намира, като умножиш трите измерения.

Пример:

Ако:

$a=6 \text{ cm}, \quad b=4 \text{ cm}, \quad c=3 \text{ cm}$

тогава:

$V=6\cdot4\cdot3=72 \text{ cm}^3$

Типична грешка:

Да се умножат само две измерения.

Грешно:

$V=a\cdot b$

Това е лице на правоъгълник, не обем на правоъгълен паралелепипед.

Правилно:

$V=a\cdot b\cdot c$

8.5. Кратко обобщение

9. Права призма

Права призма е тяло с две еднакви и успоредни основи. Страничните ѝ стени са правоъгълници.

Най-важното при призмата е да различаваш:

• лице на основата;
• обиколка на основата;
• височина на призмата.

Права призма (P – обиколка на основата, B – лице на основата):

9.1. Лице на околна повърхнина на права призма:

$S_1 = P \cdot h$

Какво означава формулата

• $P$ е обиколката на основата;
• $h$ е височината на призмата.

Околната повърхнина включва само страничните стени, без двете основи.

Пример:

Ако обиколката на основата е:

$P=20 \text{ cm}$

а височината е:

$h=8 \text{ cm}$

тогава:

$S_{\text{околна}}=20\cdot8=160 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се добавят основите, когато задачата пита само за околна повърхнина.

Ако задачата пита за околна повърхнина, използваш:

$S_{\text{околна}}=P\cdot h$

Ако пита за пълна повърхнина, тогава трябва да добавиш и двете основи.

9.2. Лице на повърхнина на права призма:

$S = S_1 + 2B$

или:

$S=P\cdot h+2B$

Какво означава формулата:

Пълната повърхнина включва:

• околната повърхнина;
• двете еднакви основи.

Пример:

Ако:

$P=20 \text{ cm}, \quad h=8 \text{ cm}, \quad B=30 \text{ cm}^2$

тогава:

$S=P\cdot h+2B$

$S=20\cdot8+2\cdot30$

$S=160+60=220 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се добави само една основа.

Грешно:

$S=P\cdot h+B$

Правилно:

$S=P\cdot h+2B$

Правата призма има две основи.

9.3. Обем на права призма:

$V = B \cdot h$

Какво означава формулата

• $B$ е лицето на основата;
• $h$ е височината на призмата;
• $V$ е обемът.

Обемът се намира като умножим лицето на основата по височината.

Пример:

Ако лицето на основата е:

$B=18 \text{ cm}^2$

а височината е:

$h=7 \text{ cm}$

тогава:

$V=18\cdot7=126 \text{ cm}^3$

Типична грешка:

Да се използва обиколката на основата вместо лицето на основата.

Грешно:

$V=P\cdot h$

Правилно:

$V=B\cdot h$

При обем ти трябва лице на основата, не обиколка.

10. Правилна пирамида

Правилна пирамида е пирамида, при която основата е правилен многоъгълник, а върхът е разположен така, че околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.

(k – апотема, P – обиколка на основата, B – лице на основата):

10.1. Лице на околна повърхнина на правилна пирамида:

$S_1 = \frac{P \cdot k}{2}$

В някои записи $k$ може да се означава като апотема на пирамидата.

Какво означава формулата:

• $P$ е обиколката на основата;
• $k$ е апотемата на пирамидата;
• $S_{\text{околна}}$​ е околната повърхнина.

Околната повърхнина включва само страничните триъгълници, без основата.

Пример:

Ако:

$P=24 \text{ cm}, \quad k=5 \text{ cm}$

тогава:

$S_{\text{околна}}=\frac{24\cdot5}{2}$

$S_{\text{околна}}=60 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се обърка апотемата $k$ с височината $h$ на пирамидата.

• $h$ се използва във формулата за обем;
• $k$ се използва във формулата за околна повърхнина.

Грешно:

$S_{\text{околна}}=\frac{P\cdot h}{2}$

Правилно:

$S_{\text{околна}}=\frac{P\cdot k}{2}$

10.2. Лице на повърхнина на правилна пирамида:

$S = S_1 + B$

Какво означава формулата?

Пълната повърхнина на пирамида включва:

• околната повърхнина;
• една основа.

За разлика от призмата, пирамидата има само една основа.

Пример:

Ако:

$S_{\text{околна}}=60 \text{ cm}^2, \quad B=36 \text{ cm}^2$

тогава:

$S=60+36=96 \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се добавят две основи, както при призма.

Грешно:

$S=S_{\text{околна}}+2B$

Правилно:

$S=S_{\text{околна}}+B$

Пирамидата има една основа, а призмата има две.

10.3. Обем на правилна пирамида:

$V = \frac{1}{3} B \cdot h$

Какво означава формулата?

• $B$ е лицето на основата;
• $h$ е височината на пирамидата;
• $V$ е обемът.

Обемът на пирамида е една трета от произведението на лицето на основата и височината.

Пример:

Ако:

$B=48 \text{ cm}^2, \quad h=9 \text{ cm}$

тогава:

$V=\frac{48\cdot9}{3}$

или

$V=48\cdot3=144 \text{ cm}^3$

Типична грешка:

Да се забрави делението на 3.

Грешно:

$V=B\cdot h$

Това е формулата за призма, не за пирамида.

Правилно:

$V=\frac{B\cdot h}{3}$

11. Правилен тетраедър

Правилният тетраедър е тяло, съставено от 4 еднакви равностранни триъгълника. Той е едно от петте платонови тела (правилни многостени). Тъй като стените му са еднакви равностранни триъгълници, всичките му 6 ръба са равни и всичките му ъгли са по 60°.

Това е по-специално тяло и не се среща толкова често като куба, призмата или цилиндъра, но ако формулата е в листа, ученикът трябва да знае как да я разчете.

Лице на повърхнина на правилен тетраедър

$S=a^2\sqrt{3}$

Какво означава формулата?

Правилният тетраедър има 4 еднакви равностранни триъгълника.

Лицето на един равностранен триъгълник е:

$S_{\triangle}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тъй като тетраедърът има 4 такива стени:

$S=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$

Пример:

Ако:

$a=6 \text{ cm}$

тогава:

$S=6^2\sqrt{3}=36\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се използва формулата за лице на един равностранен триъгълник вместо за цялата повърхнина.

Грешно:

$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Това е лице на една стена.

Правилно:

$S=a^2\sqrt{3}$

Това е лице на цялата повърхнина на правилен тетраедър.

12. Прав кръгов цилиндър

Правият кръгов цилиндър има две еднакви кръгли основи и околна повърхнина, която при разгъване е правоъгълник.

12.1. Лице на околна повърхнина на прав кръгов цилиндър:

$S_1 = 2 \pi r h$

Какво означава формулата?

Околната повърхнина на цилиндъра е страничната повърхност.

Ако разгънеш страничната повърхност на цилиндъра, ще получиш правоъгълник:

• едната му страна е височината $h$;
• другата му страна е дължината на окръжността на основата $2\pi r$.

Затова:

$S_{\text{околна}}=2\pi r\cdot h$

Пример:

Ако:

$r=4 \text{ cm}, \quad h=7 \text{ cm}$

тогава:

$S_{\text{околна}}=2\pi\cdot4\cdot7=56\pi \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се забрави, че това не включва двете основи.

Околната повърхнина е само страничната част.

12.2. Лице на повърхнина на прав кръгов цилиндър:

$S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$

Може да се запише и така:

$S=2\pi r^2+2\pi rh$

Какво означава формулата?

Пълната повърхнина включва:

• две кръгли основи;
• околната повърхнина.

Лице на една основа:

$\pi r^2$

Лице на две основи:

$2\pi r^2$

Околна повърхнина:

$2\pi rh$

Затова:

$S=2\pi r^2+2\pi rh$

или изнасяме $2\pi r$:

$S=2\pi r(r+h)$

Пример:

Ако:

$r=3 \text{ cm}, \quad h=5 \text{ cm}$

тогава:

$S=2\pi\cdot3(3+5)$

$S=6\pi\cdot8=48\pi \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се добави само една основа.

Грешно:

$S=\pi r^2+2\pi rh$

Правилно:

$S=2\pi r^2+2\pi rh$

Цилиндърът има две основи.

12.3. Обем на прав кръгов цилиндър:

$V = \pi r^2 h$

Какво означава формулата?

Обемът на цилиндъра се намира като умножим лице на основата по височината.

Основата е кръг, затова:

$B=\pi r^2$

и:

$V=B\cdot h=\pi r^2h$

Пример:

Ако:

$r=3 \text{ cm}, \quad h=10 \text{ cm}$

тогава:

$V=\pi\cdot3^2\cdot10$

$V=90\pi \text{ cm}^3$

Ако използваш $\pi\approx3{,}14$π≈3,14:

$V\approx90\cdot3{,}14=282{,}6 \text{ cm}^3$

Типична грешка:

Да се използва формулата за околна повърхнина вместо за обем.

Грешно:

$V=2\pi rh$

Правилно:

$V=\pi r^2h$

13. Прав кръгов конус

Правият кръгов конус има една кръгла основа и един връх.

Тук е много важно да различаваш:

• радиус $r$;
• височина $h$;
• образуваща $l$.

13.1. Лице на околна повърхнина на прав кръгов конус:

$S_1 = \pi r l$

Какво означава формулата?

• $r$ е радиусът на основата;
• $l$ е образуващата на конуса.

Околната повърхнина не използва височината $h$, а образуващата $l$.

Пример:

Ако:

$r=5 \text{ cm}, \quad l=8 \text{ cm}$

тогава:

$S_{\text{околна}}=\pi\cdot5\cdot8=40\pi \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се използва височината вместо образуващата.

Грешно:

$S_{\text{околна}}=\pi rh$

Правилно:

$S_{\text{околна}}=\pi rl$

13.2. Лице на повърхнина на прав кръгов конус:

$S = \pi r l + \pi r^2$

Може да се запише и така:

$S=\pi r^2+\pi rl$

Какво означава формулата?

Пълната повърхнина включва:

• една кръгла основа;
• околната повърхнина.

Лице на основата:

$\pi r^2$

Околна повърхнина:

$\pi rl$

Затова:

$S=\pi r^2+\pi rl$

или

$S=\pi r(r+l)$

Пример:

Ако:

$r=4 \text{ cm}, \quad l=9 \text{ cm}$

тогава:

$S=\pi\cdot4(4+9)$

$S=52\pi \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се добавят две основи, както при цилиндър.

Грешно:

$S=2\pi r^2+\pi rl$

Правилно:

$S=\pi r^2+\pi rl$

Конусът има една основа.

13.3. Обем на прав кръгов конус:

$V = \frac{\pi r^2 h}{3}$

Какво означава формулата?

Обемът на конус е една трета от обема на цилиндър със същата основа и височина.

Пример:

Ако:

$r=3 \text{ cm}, \quad h=6 \text{ cm}$

тогава:

$V=\frac{\pi\cdot3^2\cdot6}{3}$

$V=\frac{54\pi}{3}=18\pi \text{ cm}^3$

Типична грешка:

Да се забрави делението на 3.

Грешно:

$V=\pi r^2h$

Това е формулата за цилиндър.

Правилно:

$V=\frac{\pi r^2h}{3}$

14. Сфера и кълбо

Тук трябва да различаваш сфера и кълбо.

Сферата е повърхнината.
Кълбото е цялото тяло заедно с вътрешността.

14.1. Лице на повърхнина на сфера:

$S = 4 \pi r^2$

Какво означава?

Формулата дава лицето на повърхнината на сферата.

Пример:

Ако:

$r=6 \text{ cm}$

тогава:

$S=4\pi\cdot6^2$

$S=4\pi\cdot36=144\pi \text{ cm}^2$

Типична грешка:

Да се използва $r^3$ при лице.

Грешно:

$S=4\pi r^3$

Правилно:

$S=4\pi r^2$

Лицето е в квадратни единици, затова участва $r^2$.

14.2. Обем на кълбо

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Какво означава?

Формулата дава обема на кълбото, тоест пространството вътре.

Пример:

Ако:

$r=3 \text{ cm}$

тогава:

$V=\frac{4\pi\cdot3^3}{3}$

$V=\frac{4\pi\cdot27}{3}$

$V=36\pi \text{ cm}^3$

Типична грешка:

Да се използва $r^2$ вместо $r^3$.

Грешно:

$V=\frac{4\pi r^2}{3}$

Правилно:

$V=\frac{4\pi r^3}{3}$

Обемът е в кубични единици, затова участва $r^3$.

Кратка таблица: тела от позволения лист с формули

Обобщение за ученика

При телата първо не търси формулата. Първо разбери какво пита задачата.

Боядисване, облепване, ламарина, хартия → повърхнина.
Вода, въздух, вместимост, пространство → обем.
Само страничните стени → околна повърхнина.
Всички стени/цялото тяло отвън → пълна повърхнина.

След това провери дали тялото има:

една основа → пирамида или конус;
две основи → призма или цилиндър;
няма основи → сфера/кълбо.

Това е най-сигурният начин да не объркаш формулата.

Виж и НВО по математика от минали години

Какво НЕ е в официалния лист (но трябва да го знаеш)

Тук започва по-важната част. Следващите формули за НВО по математика не получаваш на изпита, но задачите ги предполагат. Ако не ги знаеш наизуст, ще губиш време.

От 5. клас: дроби

Събиране на дроби с общ знаменател:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Пример:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Обяснение:
Когато събираш дроби с различни знаменатели, първо ги привеждаш към общ знаменател.

Типична грешка:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2}{7}$

Това е грешно, защото не събираш числителите и знаменателите поотделно.

Изваждане на дроби с общ знаменател:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Умножение на дроби:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Пример:

$\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}=\frac{10}{21}$

Типична грешка:
Да се търси общ знаменател. При умножение на дроби не ти трябва общ знаменател.

Деление на дроби:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

Пример:

$\frac{3}{5}:\frac{2}{7}=\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}=\frac{21}{10}$

Типична грешка:
Да се обърне първата дроб вместо втората.

Правилно е: обръщаш втората дроб.

Средноаритметично

средноаритметично = сбор на числата / брой на числата

Или:

$\text{средноаритметично}=\frac{\text{сбор на числата}}{\text{брой на числата}}$

Пример:

$\frac{4+5+6+5}{4}=\frac{20}{4}=5$

Типична грешка:
Да се раздели на грешен брой числа.

От 5. клас: проценти

Намиране на p$\%$%от число a:

$\frac{p}{100} \cdot a$

Каква част от b е a (в проценти):

$\frac{a}{b} \cdot 100\%$

Намиране на число по известен процент:

ако p% от x е a, то:

$x = \frac{a \cdot 100}{p}$

Пример

20% = 20/100 = 0,2

Ако трябва да намериш 20% от 80:

0,2 · 80 = 16

Типична грешка:

Да се мисли, че 20% от 80 е 20.

Процентът не е самостоятелно число. Той е част от нещо.

Увеличение с процент

Ако една стойност се увеличава с 20%, новата стойност е:

стара стойност · 1,20

Пример:

Цена 50 лв. се увеличава с 20%.

50 · 1,20 = 60 лв.

Типична грешка:

Да се намерят 20%, но да не се добавят към старата стойност.

Намаление с процент

Ако една стойност се намалява с 20%, новата стойност е:

стара стойност · 0,80

Пример:

Цена 50 € се намалява с 20%.

50 · 0,80 = 40 €

Типична грешка:

Да се сметне:

50 · 0,20 = 10

и да се даде отговор 10 €.

Но 10 € е размерът на намалението, не новата цена.

Ред на действията в числов израз: първо скоби, после степенуване, после умножение и деление (отляво надясно), накрая събиране и изваждане (отляво надясно).

От 5. клас: геометрия

Лице на правоъгълник:

$S = a \cdot b$

Периметър на правоъгълник:

$P = 2(a + b)$

Куб (със страна a) – лице на повърхнина:

$S = 6a^2$

Куб – обем:

$V = a^3$

От 6. клас: рационални числа

Действия с рационални числа (числа със знак): стандартните правила за умножение и деление на числа с различни знаци – резултатът е отрицателен, а с еднакви знаци – положителен.

Пропорция – основно свойство: ако $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то:

$a \cdot d = b \cdot c$

Права пропорционалност:

$y = k \cdot x$

Обратна пропорционалност:

$y = \frac{k}{x}$

където k е коефициент на пропорционалност.

Пример

x / 5 = 12 / 15

Тогава:

15x = 5 · 12
15x = 60
x = 4

Типична грешка:

Да се умножат числата от една и съща страна, вместо „на кръст“.

От 6. клас: геометрия

Сбор на ъглите в триъгълник:

180°

Сбор на ъглите в четириъгълник:

360°

Сбор на ъглите в произволен n-ъгълник:

$(n - 2) \cdot 180°$

Вписан ъгъл в окръжност е равен на половината от централния ъгъл, който застава на същата дъга.

От 7. клас: уравнения и неравенства

Линейно уравнение

ax + b = 0, при a $\neq$0 решението е:

$x = -\frac{b}{a}$

Пример

3x - 12 = 0
3x = 12
x = 4

Типична грешка:

Да се премести член от другата страна, без да се смени знакът.

Грешно:

3x - 12 = 0
3x = -12

Правилно:

$3x = 12$

Модулно уравнение

от вида $|ax + b| = c$:

• Ако c < 0 – няма решение
• Ако c = 0 – едно решение: ax + b = 0
• Ако c > 0 – две решения: ax + b = c или ax + b = -c

Линейно неравенство

ax + b > 0:

• При a > 0: $x > -\frac{b}{a}$
• При a < 0: x < $-\frac{b}{a}$ (знакът на неравенството се обръща!)

Пример:

2x + 4 > 10

Решение:

2x > 6
x > 3

Най-важното правило: Когато умножаваш или делиш двете страни на неравенство с отрицателно число, знакът се обръща.

Пример:

-2x > 6

Делиш на -2, затова обръщаш знака:

x < -3

Типична грешка:

Грешно:

$-2x > 6$
$x > -3$

Правилно:

$x < -3$

Това е една от най-честите грешки при неравенства.

Скорост, път, време

Това е много важно за текстови задачи.

$s=v\cdot t$

$v=\frac{s}{t}$

$t=\frac{s}{v}$

Където:

• $s$ е път;
• $v$ е скорост;
• $t$ е време.

Пример:

$v=60 \text{ km/h}, \quad t=2 \text{ h}$

$s=60\cdot2=120 \text{ km}$

Типична грешка:
Да се смесят минути и часове.

Например:

$30 \text{ min}=0{,}5 \text{ h}$

а не:

$30 \text{ min}=30 \text{ h}$

Най-чести грешки при използване на формули

Грешка 1. Учиш формулата, но не знаеш кога се използва

Например знаеш:

S = πr²

но я използваш за дължина на окръжност.

Това е грешка на разпознаването.

Грешка 2. Бъркаш лице и периметър

Периметър:

дължина около фигурата

Лице:

площ вътре във фигурата

Ако задачата пита колко ограда е нужна, това е периметър.
Ако пита колко плочки са нужни за под, това е лице.

Грешка 3. Бъркаш повърхнина и обем

Повърхнина:

колко площ има отвън

Обем:

колко пространство побира тялото

Боя, хартия, ламарина е за повърхнина.
Вода, въздух, съдържание е за обем.

Грешка 4. Не следиш мерните единици

Ако едната величина е в метри, а другата в сантиметри, първо трябва да ги приведеш към еднакви мерни единици.

Пример:

2 m = 200 cm

Не можеш директно да умножаваш 2 m по 30 cm, без да внимаваш какво правиш.

Грешка 5. Заместваш механично

Формулата не е шаблон за механично попълване. Преди да заместиш, трябва да знаеш:

• кое е страна;
• кое е височина;
• кое е радиус;
• кое е диаметър;
• кое е лице на основата;
• кое е обиколка на основата.

Грешка 6. Не проверяваш дали отговорът има смисъл

Ако намираш хипотенуза и тя излезе по-малка от катет, има грешка.

Ако намираш лице и получиш отрицателно число, има грешка.

Ако вероятност излезе по-голяма от 1, има грешка.

Как да учиш формулите умно преди НВО – метод в 5 стъпки

Не учи формулите като стихотворение. Учи ги като инструменти.

1. Напиши формулата

Пример:

S = (a · h) / 2

2. Напиши за какво служи

Лице на триъгълник

3. Напиши какво означават буквите

a = страна
h = височина към тази страна

4. Реши един прост пример

a = 8 cm
h = 5 cm
S = (8 · 5) / 2 = 20 cm²

5. Запиши типична грешка

Да забравя делението на 2.

Така формулата вече не е просто символ. Тя става част от мисленето ти.

Таблица: коя формула кога се използва

Как да използваш този справочник с формули за НВО по математика

Препоръчвам ти да подходиш така:

Седмица 1–2: отпечатай или запиши в тетрадка формулите, които не са в официалния лист (втората половина на статията). Те са най-важни – не можеш да разчиташ, че някой ще ти ги подаде.

Седмица 3: започни да решаваш задачи, в които използваш конкретни формули. Не се опитвай да решаваш всичко наведнъж – фокусирай се върху един раздел, докато не го овладееш.

Седмица 4 и нататък: реши тестове от минали години. Когато срещнеш формула, която не помниш, върни се тук и я намери.

Ако се забъркаш в задача и не си сигурен/а от коя формула да тръгнеш, има приложения, които сканират задачата и показват стъпките на решението. За това кои са най-добрите и как работят, писах в сравнителния ми преглед.

📄 Изтегли PDF справочник за печат

Направих компактен PDF справочник с всички формули за НВО по математика от тази статия – 6 страници, подходящи за разпечатване и носене до изпита. Изтегли го, разпечатай го и си го сложи в класьора.

Изтегли PDF – формули за НВО по математика, 7 клас

Изтегли

Виж още: Таблица синуси, косинуси и тангенси от ъгли от 0 до 90 градуса

Често задавани въпроси (FAQ)

Статията за формули за НВО по математика е част от поредица материали по математика в ivytechnoweb.net. Ако ти се е сторила полезна, сподели я с приятел, който се подготвя за НВО.