Как се решават текстови задачи по математика за НВО за 7-ми клас (пълно ръководство с примери)

Защо въпросът как се решават текстови задачи по математика е толкова важен не само за седмокласници, но и за целия курс по математика от първите класове до завършване на средното образование?

Текстовите задачи са най-страшната част от изпита за повечето ученици, не защото математиката е трудна, а защото превеждането от думи в уравнение изисква умение, което се учи отделно от пресмятанията. Когато знаеш формулите, но не знаеш как да започнеш – значи не ти липсва математика, а методология.

Някога професор Дойчинов по Анализ във Факултета по математика на Софийския университет ни казваше, че задачите по Анализ са много по-лесни, отколкото задачите в Елементарната математика, защото за разлика от тях, се решават по изброими „рецепти“. Докато задачите от Елементарната математика, особено текстовите, изискват специални подходи, по-трудни за класификация и разпределяне в „рецепти“.

В тази статия ще намериш стъпков алгоритъм, четирите основни начина за разсъждение, типовете задачи в НВО и пълни решения с доказателства, които съответстват на материала до 7. клас включително.

За формулите, които ще използваш, виж справочника Всички формули за НВО по математика, 7-ми клас (5-ти, 6-ти и 7-ми клас). Пълен справочник с обяснения.

Какво представляват текстовите задачи

Текстовата задача е задача, при която математиката е „скрита“ в текст.

За да решиш задачата ти трябва да можеш да:

• извлечеш важната информация;
• откриеш зависимостите;
• избереш правилно действие;
• съставиш уравнение;
• дадеш верен отговор с мерна единица.

Това е една от най-важните части на НВО.

Какво означава „да решиш текстова задача“

Да решиш текстова задача не означава само да намериш някакво число. Истинското решение включва три части.

Първо, трябва да разбереш ситуацията. Това означава да знаеш какво е дадено, какво се търси и какви връзки има между величините.

Второ, трябва да построиш математически модел. Това може да бъде числов израз, уравнение, неравенство, пропорция, таблица, схема, чертеж или геометрична зависимост.

Трето, трябва да провериш и обосновеш резултата. Това е много важно, особено при задачите със свободен отговор, защото там не стига само да напишеш крайния отговор. Трябва да покажеш защо той следва от условието.

На НВО се проверяват не само знанията по формули, но и умението да ги използваш в конкретна ситуация. В модела на изпита изрично присъства моделиране с изрази, линейни уравнения и неравенства, както и задачи със свободен отговор, които изискват описание и аргументация.

Универсален алгоритъм за решаване на текстови задачи по математика

Всяка текстова задача, независимо дали е за движение, смеси или работа, се решава по един и същ скелет. Запомни го, той ще ти спести минути на изпита.

Стъпка 1. Прочети задачата два пъти

Прочети условието като история, не като сбор от числа

Много ученици виждат числата и веднага започват да смятат. Това е грешка. Числата сами по себе си не казват какво трябва да направиш с тях.

Например, ако в условието има 40, 25% и 10, това не означава автоматично, че трябва да ги събереш, умножиш или разделиш. Първо трябва да разбереш какво представляват тези числа.

Затова първият въпрос е:

Каква ситуация е описана?

Пазаруване ли е? Движение ли е? Работа ли е? Геометрична фигура ли е? Проценти ли са? Смесване ли е? Разпределяне ли е? Сравняване ли е?

Когато разбереш вида на ситуацията, вече можеш да търсиш подходящ метод.

Т.е. първото четене е за обща картина – за какво става дума. Второто е за подчертаване на данните, отношенията и какво се търси.

Подчертай важното.

Например:

• общо;
• повече;
• по-малко;
• два пъти;
• половината;
• остатък;
• скорост;
• време;
• цена.

Ако има непознати думи (напр. „средна скорост“, „процентно съдържание“), маркирай ги.

Стъпка 2. Определи какво се търси

Всяка текстова задача има две основни части:

Дадено: информацията, която условието ти предоставя.
Търси се: това, което трябва да намериш.

Понякога търсеното е ясно: „Намери числото“, „Колко километра е изминал?“, „Колко струва?“.

Но понякога търсеното е скрито в по-дълъг въпрос:

„С колко процента е увеличен добивът?“
„След колко дни двете количества ще се изравнят?“
„Колко трябва да бъде дължината, за да има фигурата дадено лице?“

Тук вече не търсиш просто число. Търсиш число, което изпълнява условие.

Запиши с думи: „Търси се…“. Това е най-често пропусканата стъпка и точно тя води до грешки като „реших правилно, но обърках кое от числата е отговорът“.

Стъпка 3. Въведи неизвестно

Когато задачата не може да се реши директно с аритметични действия, въвеждаш неизвестно.

Най-често пишеш:

Нека x е…

Но тук има много важен момент: трябва да избереш удобно неизвестно.

Не винаги x трябва да бъде това, което се търси директно. Понякога е по-удобно x да бъде по-малката част, единичната част, първоначалната цена, времето, броят дни или една страна на фигура.

Пример:

„Едното число е 3 пъти по-голямо от другото.“

По-удобно е да кажеш:

Нека по-малкото число е x.
Тогава по-голямото е 3x.

Ако направиш обратното — ако по-голямото е x — тогава по-малкото ще бъде x/3. Това не е грешно, но често усложнява решението.

Означи с x това, което се търси – или нещо, което е свързано с него по най-прост начин.

Нека:

• x = цена
  или
• x = търсеното число
  или
• x = брой ученици.

Правилото е: въвеждай възможно най-малко неизвестни. Ако можеш да приемеш само едно неизвестно и другите търсени неща – изразени с него, не въвеждай две неизвестни.

Стъпка 4. Изрази останалите величини чрез x

Преведи текста на математически език. Това е сърцето на текстовата задача.

Ето няколко важни превода:

„с 5 повече“ означава x + 5
„с 5 по-малко“ означава x − 5
„3 пъти повече“ в училищните задачи обикновено означава 3x
„половината от числото“ означава x/2
„25% от числото“ означава 0,25x или x/4
„общо“ често води до събиране
„разлика“ често води до изваждане
„толкова, колкото“ често води до равенство
„най-малко“ и „не по-малко от“ често водят до неравенство
„най-много“ и „не повече от“ също водят до неравенство

Това е причината текстовите задачи да са толкова важни: те те учат да мислиш с отношения, а не само с числа.

Тук е същинският превод от думи в алгебра. Всяка фраза от условието трябва да стане ред в таблица или израз с x.

Стъпка 5. Състави уравнението

Уравнението идва от равенство, което вече е скрито в условието – обикновено това е сума, разлика, или израз „с толкова повече/по-малко“.

Стъпка 6. Реши уравнението

След като вече имаш израз, уравнение, неравенство или пропорция, задачата става обикновена математическа задача.

Тук използваш знанията си от 5-ти, 6-ти и 7-ми клас: действия с рационални числа, проценти, пропорции, линейни уравнения, неравенства, геометрични формули, лица, периметри, обеми, диаграми, средноаритметично и вероятност.

Прилагаш стандартните правила: пренасяне от едната страна в другата с обратен знак, събиране на подобни членове, делене на коефициента пред x.

Стъпка 7. Проверка и отговор с мерни единици

Това е стъпката, която много ученици пропускат.

Ако получиш x = 12, трябва да кажеш какво означава 12.

12 евро ли са?
12 ученици ли са?
12 дни ли са?
12 сантиметра ли са?
12 процента ли са?

Никога не оставяй само „x = 12“, ако задачата е текстова. Крайният отговор трябва да бъде с думи и с мерна единица, когато има такава.

Замествaш намереното x в първоначалното условие (не в уравнението!) и проверяваш дали излизат данните от задачата.

Проверката не е украса. Тя е част от доказването.

Ако задачата е за брой хора, не можеш да получиш 3,5 души.
Ако задачата е за дължина, тя не може да бъде отрицателна.
Ако задачата е за процентно намаление, новата цена трябва да е по-малка от старата.
Ако задачата е за страна на триъгълник, трябва да е изпълнено неравенството на триъгълника.

Това е много важен момент: не всяко решение на уравнението е задължително решение на текстовата задача. То трябва да отговаря и на реалния смисъл на условието.

Стъпка	Действие	Често срещана грешка
1	Прочитане 2 пъти	Бързаш и пропускаш дума като „с“, „на“, „от“
2	Какво се търси	Решаваш за погрешна величина
3	Въвеждане на x	Въвеждаш 2-3 неизвестни без нужда
4	Изразяване	Бъркаш „с 5 повече“ със „5 пъти повече“
5	Уравнение	Не намираш кое е равенството
6	Решаване	Знакови грешки при пренасяне
7	Проверка	Пропускаш я изцяло

Различни начини на разсъждение при решаване на текстови задачи по математика

Сега идва по-задълбочената част. Не всички текстови задачи се решават по един и същи начин. До 7. клас можеш да използваш няколко вида разсъждение.

1. Алгебричен метод (с уравнение)

Алгебричното разсъждение е най-важното за текстовите задачи в 7-ми клас. То се използва, когато има неизвестна величина и условието описва връзка между величините.

Пример:

Сборът на две числа е 45. Едното е с 9 по-голямо от другото. Намери числата.

Нека по-малкото число е x.
Тогава по-голямото е x + 9.

Сборът им е 45, следователно:

$x + x + 9 = 45$

$2x + 9 = 45$
$2x = 36$
$x = 18$

По-малкото число е 18.
По-голямото е $18 + 9 = 27$.

Проверка:

$18 + 27 = 45$
27 е с 9 повече от 18.

Отговор: числата са 18 и 27.

Защо това е доказателство

Тук доказателството има ясна структура.

Първо, въвеждаш неизвестно.
После изразяваш другата величина чрез него.
След това съставяш уравнение според условието.
Решаваш уравнението.
Накрая проверяваш, че числата изпълняват и двете условия.

Това е напълно достатъчно доказателство за задача до 7-ми клас.

2. Аритметичен метод (без уравнение)

Аритметичното разсъждение е решаване без неизвестно. Използваш последователни действия с числа.

То е подходящо, когато зависимостта е ясна и може да се върви директно от даденото към търсеното.

Пример:

Яке струва 120 евро. Намалено е с 25%. Колко струва след намалението?

Можеш да решиш така:

25% от 120 евро е:

$120 · 25 / 100 = 30 €$

Новата цена е:

$120 − 30 = 90 €$

Отговор: якето струва 90 €.

Тук не е нужно уравнение, защото имаш началната цена и процента. Търсиш част от дадено число, а после изваждаш.

Кога да използваш аритметично разсъждение

Използвай го, когато:

• данните са достатъчни за директно смятане;
• няма скрита неизвестна величина;
• можеш да вървиш стъпка по стъпка от известното към неизвестното;
• задачата е за процент от число, цена, количество, лице, периметър или обем с дадени размери.

Как се доказва аритметично решение

Доказването става чрез обяснение на всяка стъпка.

Не е достатъчно да напишеш:

120 · 0,25 = 30
120 − 30 = 90

По-добре е да напишеш:

25% от 120 € са 30 €, следователно намалението е 30 €. След намалението цената е 120 − 30 = 90 €. Следователно якето струва 90 €.

Така показваш не само сметката, но и смисъла ѝ.

3. Метод на предположението (метод на хипотезата)

Предполагаш, че всички предмети са от един вид, изчисляваш разликата с реалното, и от нея намираш колко са от другия вид. Класическият пример е „кокошки и зайци“.

Пример: „В двора има кокошки и зайци – общо 20 глави и 56 крака. Колко са кокошките?“

Предполагаме, че всички 20 са кокошки. Тогава краката биха били $20 × 2 = 40$. Реалните са 56, тоест 16 повече. Всеки заек добавя 2 крака над кокошка, значи зайците са $16 ÷ 2 = 8$. Кокошките са $20 − 8 = 12$.

Кога да го използваш: при задачи с два вида обекти, всеки със своя характеристика, и две зададени общи стойности.

4. Графичен (схематичен) метод

Схемата е много полезна, когато задачата описва части от цяло, отсечки, геометрични фигури, движение или сравнение между количества.

До 7-ми клас чертежът не трябва да бъде художествен. Той трябва да бъде смислен.

Пример:

Една отсечка е разделена на две части. Едната част е 3 пъти по-дълга от другата, а цялата отсечка е 32 см. Намери двете части.

Можеш да си представиш по-късата част като една „единична част“:

къса част: x
дълга част: 3x

Общо:

$x + 3x = 32$
$4x = 32$
x = 8

Късата част е 8 см.
Дългата част е 24 см.

Проверка:

$8 + 24 = 32$
24 е 3 пъти по-голямо от 8.

Защо това е важно

Много задачи със съотношения стават по-лесни, ако ги видиш като части.

Например отношение 2 : 3 : 5 означава, че цялото е разделено на:

$2 + 3 + 5 = 10$ равни части.

Ако цялото е 100, една част е 10.
Тогава трите количества са 20, 30 и 50.

Този тип мислене е много важен за задачи със смеси, проценти, разпределения и пропорции.

Особено полезен е методът за задачи за движение (отсечка с посоки), за частни (правоъгълник, разделен на части) и за процентно съдържание.

Виж също и задачите за движение: Задачи за движение по математика за НВО в 7-ми клас: пълно ръководство с примери

Кога да го използваш

Когато не можеш да си представиш ситуацията наум. Една скица често разкрива равенството за уравнението.

Бележка за изпита: На НВО се очаква алгебричен подход с пълно решение. Дори да решиш с предположение, преписвай решението с уравнение, защото точките се дават за съставяне и решаване на уравнение, а не само за верен отговор.

5. Разсъждение чрез таблица

Таблицата е много силен инструмент при текстови задачи. Тя помага, когато има няколко величини, които са свързани помежду си.

Особено полезна е при задачи за:

движение;
работа;
производителност;
цена, количество и стойност;
план и реално изпълнение;
смеси и съотношения.

Пример: цена, количество, стойност

Една тетрадка струва 2 €, а една химикалка струва 1,50 €. Купени са общо 10 предмета за 17 €. Колко тетрадки и колко химикала са купени?

Нека тетрадките са x.
Тогава химикалките са 10 − x.

Вид	Брой	Цена за 1 брой	Обща стойност
Тетрадки	x	2 €	2x
Химикалки	10 − x	1,50 €	1,5(10 − x)

Общата стойност е 17 €:

2x + 1,5(10 − x) = 17

2x + 15 − 1,5x = 17
0,5x = 2
x = 4

Тетрадките са 4.
Химикалките са 10 − 4 = 6.

Проверка:

4 · 2 = 8 €
6 · 1,50 = 9 €
8 + 9 = 17 €

Отговор: купени са 4 тетрадки и 6 химикала.

Защо таблицата помага

Таблицата не решава задачата вместо теб, но подрежда мисленето. Тя намалява риска да смесиш величините.

При НВО това е особено полезно, защото при по-дълги условия ученикът често се обърква не от математиката, а от организацията на информацията.

6. Разсъждение чрез пропорция

Пропорцията се използва, когато две отношения са равни.

Тя е подходяща при:

мащаб;
проценти;
цена за количество;
права пропорционалност;
разпределяне в отношение;
подобни практически ситуации.

Пример:

5 кг ябълки струват 12 €. Колко струват 8 кг от същите ябълки?

Тук цената е право пропорционална на количеството.

Можеш първо да намериш цената на 1 кг:

12 : 5 = 2,40 €

После:

8 · 2,40 = 19,20 €

Отговор: 8 кг струват 19,20 €.

Можеш и с пропорция:

5 кг → 12 €
8 кг → x €

$5 / 8 = 12 / x$

5x = 96
x = 19,2

Кога да внимаваш

Не всяка задача с две величини е права пропорционалност.

Например при работа, ако повече работници работят със същата производителност, времето намалява. Това е обратна пропорционалност.

Ако 4 работници свършват работа за 6 дни, 8 работници няма да я свършат за 12 дни, а за 3 дни.

Затова винаги си задавай въпроса:

Когато едната величина се увеличава, другата увеличава ли се или намалява?

7. Разсъждение чрез неравенство

Неравенствата често се подценяват, но са важни за текстови задачи.

Използват се, когато условието съдържа думи като:

„повече от“
„по-малко от“
„най-малко“
„най-много“
„не по-малко от“
„не повече от“
„трябва да бъде поне“
„не трябва да надвишава“

Пример:

Билет за музей струва 6 евро. Ученик има 40 евро. Колко най-много билета може да купи?

Нека броят билети е x.

6x ≤ 40

x ≤ 40/6
x ≤ 6,66…

Но броят билети трябва да бъде цяло число. Следователно най-много може да купи 6 билета.

Проверка:

6 · 6 = 36 евро – възможно е.
7 · 6 = 42 евро – не е възможно.

Отговор: най-много 6 билета.

Защо проверката е важна

Ако просто напишеш x = 6,66, това няма смисъл, защото не можеш да купиш 6,66 билета. Тук трябва да съобразиш математическия резултат с реалната ситуация.

Това е много важен тип разсъждение за НВО.

8. Логическо разсъждение чрез изключване

При задачите с избираем отговор можеш понякога да използваш логика и изключване.

Това не означава да гадаеш. Означава да провериш кои отговори са невъзможни.

Пример:

Ако задача пита за дължина, а един от отговорите е отрицателно число, той отпада.

Ако задача пита за вероятност, а един от отговорите е по-голям от 1, той отпада.

Ако задача пита за цена след намаление, а един от отговорите е по-голям от първоначалната цена, той вероятно е грешен, освен ако няма после увеличение.

Ако задача пита за брой ученици, дробен отговор отпада.

Това е особено полезно при първата част на НВО, където има задачи с четири възможни отговора.

Но трябва да се използва внимателно. Изключването помага, но не замества решението, когато задачата изисква аргументация.

9. Геометрично разсъждение в текстови задачи

Геометричните текстови задачи са особено важни, защото съчетават текст, чертеж, формули и логика.

До 7-ми клас можеш да използваш:

• периметър и лице на равнинни фигури;
• свойства на триъгълници;
• сбор от ъгли в триъгълник;
• външен ъгъл на триъгълник;
• успоредни прави;
• съседни и противоположни ъгли;
• правоъгълен триъгълник;
• Питагорова теорема при питагорови тройки;
• успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат;
• лица и повърхнини на тела;
• обеми на тела.

В модела на НВО присъстват теми от фигури и тела, включително лица, периметри, елементи на ръбести и валчести тела, триъгълници, успоредни прави, еднакви триъгълници и видове успоредници.

Пример:

Правоъгълник има периметър 34 см. Дължината му е с 5 см по-голяма от ширината. Намери лицето му.

Нека ширината е x см.
Тогава дължината е x + 5 см.

Периметърът на правоъгълник е:

$P = 2a + 2b$

Следователно:

$2x + 2(x + 5) = 34$

$2x + 2x + 10 = 34$
$4x = 24$
$x = 6$

Ширината е 6 см.
Дължината е 11 см.

Лицето е:

S = 6 · 11 = 66 см²

Проверка:

Периметър: 2 · 6 + 2 · 11 = 12 + 22 = 34 см.
Дължината 11 см е с 5 см по-голяма от ширината 6 см.

Отговор: лицето е 66 см².

Какво е доказателството тук

Доказателството се състои в това, че:

• използваш правилната формула за периметър;
• изразяваш дължината чрез ширината;
• съставяш уравнение по дадения периметър;
• намираш размерите;
• изчисляваш лицето;
• проверяваш, че размерите отговарят на условието.

Това е напълно коректно решение за 7-ми клас.

10. Разсъждение чрез проверка на условието

Проверката е вид доказателство. Тя показва, че полученият резултат не е случаен.

При текстови задачи проверката трябва да връща резултата към условието.

Пример:

Ако задачата казва:

„Едното число е с 7 по-голямо от другото, а сборът им е 31.“

И ти получиш числата 12 и 19, проверяваш:

19 − 12 = 7
19 + 12 = 31

Следователно числата изпълняват и двете условия.

Това е по-силно от обикновеното „проверено“.

11. Разсъждение чрез доказване на невъзможност

Понякога трябва да покажеш, че дадено решение не е възможно.

До 7-ми клас това може да стане чрез:

• противоречие с условието;
• невъзможна стойност;
• нарушена геометрична зависимост;
• отрицателна дължина;
• дробен брой хора или предмети;
• неизпълнено неравенство.

Пример:

Може ли триъгълник да има страни 3 см, 4 см и 9 см?

За да съществува триъгълник, сборът на всеки две страни трябва да е по-голям от третата.

3 + 4 = 7, а 7 < 9.

Следователно такъв триъгълник не съществува.

Това е доказване на невъзможност.

Този тип разсъждение е много важен, защото някои ученици смятат механично и не проверяват дали полученият резултат може да съществува.

Виж още формули: Таблица синуси, косинуси и тангенси от ъгли от 0 до 90 градуса

Типови задачи по математика за НВО, 7-ми клас

Тип 1. Задачи за намиране на число

Тези задачи обикновено съдържат думи като „сбор“, „разлика“, „произведение“, „част“, „пъти повече“, „с толкова повече“.

Най-често се решават с уравнение.

Как да мислиш

Потърси кое число е най-удобно да бъде x.
Изрази останалите числа чрез x.
Използвай условието за сбор, разлика или друга връзка.
Реши уравнението.
Провери.

Цялото условие води до едно уравнение от вида ax + b = c.

Пример:

„Намери число, което удвоено и увеличено със 7 дава 25.“

Нека търсеното число е x. Тогава:

2x + 7 = 25
2x = 18
x = 9

Проверка: 2 · 9 + 7 = 18 + 7 = 25 ✓

Отговор: 9.

Тип 2. Задачи за движение

Тук работят три величини: разстояние (s), скорост (v) и време (t), свързани с формулата s = v · t. На изпита се срещат три подвида.

2.1. Движение в една посока (догонване)

Едно тяло тръгва преди друго, второто го настига.

Пример: „От село тръгва пешеходец със скорост 5 км/ч. Два часа по-късно след него тръгва велосипедист със скорост 15 км/ч. След колко часа велосипедистът ще догони пешеходеца?“

Нека t е времето, през което се е движил велосипедистът до момента на срещата.

Тяло	Скорост	Време	Разстояние
Пешеходец	5 км/ч	t + 2	5(t + 2)
Велосипедист	15 км/ч	t	15t

В момента на срещата двамата са изминали едно и също разстояние:

5(t + 2) = 15t
5t + 10 = 15t
10 = 10t
t = 1 час

Доказателство: За 1 час велосипедистът изминава 15 км. Пешеходецът се е движил 1 + 2 = 3 часа и е изминал 3 · 5 = 15 км. Равни са.

Отговор: Велосипедистът ще го догони след 1 час движение.

2.2. Движение в противоположни посоки (един срещу друг)

Пример: „От два града, отстоящи на 240 км, тръгват едновременно един срещу друг автомобил със скорост 80 км/ч и автобус със скорост 60 км/ч. След колко часа ще се срещнат?“

Нека t е търсеното време. Сборът на изминатите разстояния е равен на цялото разстояние:

80t + 60t = 240
140t = 240
t = 240/140 = 12/7 ≈ 1,71 часа

Отговор: Около 1 ч 43 мин.

2.3. Движение в обратни посоки (отдалечаване)

Аналогично на горното, но t се намира от:

v₁·t + v₂·t = разстояние между тях след t часа

Тип 3. Задачи за съвместна работа

Идеята: ако някой свърши работа за n часа, за един час той свършва 1/n част от нея. Цялата работа се означава с 1.

Пример: „Първа тръба пълни басейн за 6 часа, втора – за 4 часа. За колко часа ще се напълни басейнът, ако пуснем и двете едновременно?“

За един час:

• Първата тръба пълни 1/6 от басейна;
• Втората тръба пълни 1/4 от басейна;
• Заедно за един час пълнят 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12

Ако заедно напълнят басейна за t часа, то за 1 час ще напълнят 1/t от него:

1/t = 5/12
t = 12/5 = 2,4 часа = 2 ч 24 мин

Доказателство: За 12/5 часа първата тръба пълни (12/5) · (1/6) = 12/30 = 2/5 от басейна, а втората (12/5) · (1/4) = 12/20 = 3/5. Сборът е 2/5 + 3/5 = 1 (целият басейн).

Отговор: 2 часа и 24 минути.

Тип 4. Задачи за смеси, разтвори и сплави

Принципът: количеството чисто вещество е постоянно. Ако имаш m грама разтвор с концентрация p%, чистото вещество е m · p/100 грама.

Пример: „Колко грама вода трябва да се добавят към 200 г разтвор със 25% сол, за да се получи 10% разтвор?“

Чистата сол в първия разтвор: 200 · 25/100 = 50 г.

Нека добавим x грама вода. Новият разтвор тежи 200 + x грама, а солта в него остава 50 г и трябва да бъде 10%:

50 = (200 + x) · 10/100
50 = (200 + x)/10
500 = 200 + x
x = 300

Проверка: В новия разтвор от 500 г има 50 г сол. Концентрацията: 50/500 = 10%.

Отговор: 300 г вода.

Тип 5. Задачи с проценти

Процентите са един от най-честите източници на грешки.

Основната идея е:

p% от число означава p/100 от това число:

15% от x е 0,15x.
120% от x е 1,20x.

Намаление с 20% означава, че остава 80% от първоначалната стойност.
Увеличение с 20% означава, че новата стойност е 120% от първоначалната.

Много важна разлика

„20% от 50“ не е същото като „50% от 20“ като ситуация, макар числено и двете да дават 10.

При текстовите задачи трябва да знаеш от кое число се взема процентът.

5.1. Намиране на процент от число

p% от a = a · p/100

5.2. Намиране на число по даден процент

Ако p% от него е b, то числото е b · 100/p.

5.3. Процентно увеличение/намаление

Пример: „Цената на стока е била намалена с 20%, а после новата цена е увеличена с 20%. Каква е процентната разлика между крайната и началната цена?“

Нека началната цена е 100 евро.

• След намалението: 100 · 0,8 = 80 евро.
• След увеличението: 80 · 1,2 = 96 евро.
• Разлика: 100 − 96 = 4 евро, тоест 4% по-малко от началната.

Извод: При последователно намаление и увеличение с един и същ процент крайната цена е по-малка от началната – защото 20% се изчисляват върху различни базови числа.

Тип 6. Задачи за числа и цифри

Пример: „Едно двуцифрено число има сбор на цифрите 12. Ако разменим местата на цифрите, новото число е с 18 по-голямо от първоначалното. Намери числото.“

Нека цифрата на десетиците е a, а на единиците b. Тогава числото е 10a + b.

От условието:

• a + b = 12
• (10b + a) − (10a + b) = 18

От второто: 9b − 9a = 18, тоест b − a = 2.

Решаваме системата:

• a + b = 12
• b − a = 2

Събираме: 2b = 14, b = 7, a = 5.

Числото е 57.

Проверка: 5 + 7 = 12; 75 − 57 = 18.

Тип 7. Геометрични текстови задачи

Тук условието е словесно, но решението минава през геометрични формули и често през уравнение.

Пример: „Периметърът на правоъгълник е 48 см. Дължината е с 4 см по-голяма от широчината. Намери лицето.“

Нека широчината е x см. Тогава дължината е x + 4. Периметърът е:

2(x + x + 4) = 48
2(2x + 4) = 48
4x + 8 = 48
x = 10 см

Дължината е 14 см, лицето: 10 · 14 = 140 см².

Как да докажеш решението си – строгост в записа

На НВО се проверява не само отговорът, но и последователността на разсъжденията. Ето структурата, която носи пълния брой точки.

Структура на пълно решение

1. Означения – „Нека x е…“ задължително с мерна единица.
2. Таблица или система от изрази – за всяка величина в задачата, изразена чрез x.
3. Уравнение с обяснение откъде идва: „От условието, че…, следва уравнението:“
4. Решаване – всяка стъпка на нов ред, не пропускай междинни.
5. Проверка дали корените са допустими – например ако x е брой ученици, x трябва да е естествено число; ако е скорост – положително; ако е процент – между 0 и 100.
6. Заместване в условието (не в уравнението) за проверка.
7. Отговор с пълно изречение и мерна единица.

Пример за пълно решение със силна аргументация

Задача

Бригада планирала да изработва по 75 детайла на ден. В действителност изработвала по 90 детайла на ден и завършила работата 2 дни по-рано. Колко детайла е трябвало да изработи бригадата?

Решение

Нека планираното време за работа е x дни.

Тогава планираният брой детайли е:

75x

Понеже бригадата завършила 2 дни по-рано, реалното време е:

x − 2 дни

В действителност тя изработвала по 90 детайла на ден, следователно реално изработените детайли са:

90(x − 2)

Броят детайли е един и същ, защото става дума за една и съща работа. Затова:

75x = 90(x − 2)

Решаваме:

75x = 90x − 180
15x = 180
x = 12

Планираното време е 12 дни.

Планираният брой детайли е:

75 · 12 = 900

Проверка:

Ако работи 90 детайла на ден за 10 дни, бригадата ще изработи:

90 · 10 = 900 детайла.

Това е същият брой, но за 2 дни по-малко.

Отговор: бригадата е трябвало да изработи 900 детайла.

Коментар

Това решение е добро, защото ясно показва:

• какво е x;
• какво е планираното количество;
• какво е реалното количество;
• защо двете са равни;
• как се проверява резултатът.

Често допускани грешки и как да ги избегнеш

Грешка	Пример	Как да избегнеш
Бъркаш „с“ и „пъти“	„С 3 повече“ ≠ „3 пъти повече“	Преведи фразата в алгебричен вид буквално, преди да съставиш уравнение
Различни мерни единици	Скорост в км/ч, време в минути	Привеждай всичко в еднакви единици преди да съставиш уравнение
Забравена проверка на корените	Получаваш x = −5 за брой деца	Винаги питай: „Има ли смисъл това число тук?“
Решаваш за погрешна величина	Намираш скоростта, а се търси разстоянието	Запиши изрично „Търси се…“ преди уравнението
Пропускаш мерната единица	Отговор: „Числото е 12“	Винаги пиши: „12 евро“, „12 км“, „12 ученици“
Прескачаш стъпки в уравнението	От 5x + 7 = 25 директно x = 3,6	Пиши всяка стъпка – и грешката се хваща, и точките се дават

Стратегия за изпита

На самия НВО имаш ограничено време, затова:

1. Първо прегледай всички задачи. Реши най-лесните в първите 30 минути – често текстовите задачи са в средата и края, но може да има лесна в началото.
2. Ако се запънеш на превода от текст в алгебричен израз, направи скица или таблица. Графичното представяне отключва уравнението.
3. Ако нямаш време за пълно решение, поне напиши какво се търси, въведи x и запиши уравнението. Това носи частични точки.
4. Не пресмятай наум сложните неща. Пиши всяка стъпка – на изпита грешките идват от прескачане, не от незнание.
5. Винаги оставяй 5 минути за проверка на отговорите със заместване в условието.

Заключение

Текстовите задачи не са проверка на математически талант – те са проверка на умение да четеш внимателно и да превеждаш дума по дума в алгебричен вид. Алгоритъмът работи винаги; типовете задачи са ограничен брой; речникът на сигналните фрази е кратък. Когато тренираш всичко това отделно, решаването престава да зависи от вдъхновение и започва да зависи от метод. А методът се учи.

И още един път си прочети този…

Превод от думи в математика – речник на сигналните фрази

Това е сърцето на текстовата задача. Запомни тези съответствия наизуст – те се повтарят във всеки тест.

Фраза в условието	Математически израз
Сборът на a и b	a + b
Разликата на a и b	a − b
Произведението на a и b	a · b
Частното на a и b	a : b
С 5 повече от x	x + 5
С 5 по-малко от x	x − 5
5 пъти повече от x	5x
5 пъти по-малко от x	x/5
Една трета от x	x/3
20% от x	0,2x или 20x/100
Увеличено с 20%	1,2x
Намалено с 20%	0,8x
Двуцифрено число с цифра на десетиците a и единиците b	10a + b
Три последователни цели числа	n, n+1, n+2
Три последователни четни числа	2n, 2n+2, 2n+4

⚠️ Внимавай с „с“ и „пъти“ – „с 5 повече“ е x + 5, но „5 пъти повече“ е 5x. Това е най-честата грешка на изпита.

Често задавани въпроси (FAQ)