Задачи с уравнения за НВО по математика, 7-ми клас

Задачи с уравнения са централна тема в НВО по математика – присъстват пряко (реши уравнението) или косвено (състави и реши уравнение по условие). Много ученици могат да решават уравненията правилно, но имат затруднения в съставянето им. Именно съставянето на уравнения е умението, което се учи отделно и което прави разликата между частичен и пълен брой точки.

В тази статия ще намериш пълния процес: от прочитането на условието до записване на отговора. Включени са всички видове задачи с уравнения, които се срещат на НВО, с подробни решения и задължителните проверки.

За формулите, използвани в задачите по-долу, виж Всички формули за НВО по математика, 7-ми клас (5-ти, 6-ти и 7-ми клас). Пълен справочник с обяснения.

Какво е уравнение и защо е толкова важно за НВО

Уравнението е математически запис на условие: твърдение, че два израза са равни, при определена стойност на неизвестното. Когато дадена задача описва връзка между две величини с думи, твоята работа е да „преведеш“ тази връзка в уравнение и след това да го решиш.

На НВО задачите с уравнения се появяват в два формата:

• Директна задача: „Реши уравнението 3x − 7 = 11.“
  Тук уравнението е дадено направо, остава само да го решиш.
• Текстова задача: „Намери числото, ако…“ или „Два влака тръгват…“ Тук трябва първо да съставиш уравнението, после да го решиш.

Втората форма носи повече точки и е по-честа в задачите с по-висока трудност.

Видове уравнения в програмата до 7-ми клас

На НВО може да се срещнеш с:

Вид уравнение	Пример	Клас, в който се учи
Линейно уравнение с едно неизвестно	2x + 5 = 13	6 клас
Линейно уравнение с параметър	ax = b	7 клас
Уравнение, водещо до линейно	(x + 1)(x − 1) = x² − 3	7 клас
Уравнение в контекст на текстова задача	съставяш сам/а	6 – 7 клас

Квадратните уравнения не са в програмата за НВО 7 клас и няма да ги разглеждам тук.

Как се решава линейно уравнение за НВО по математика – стъпка по стъпка

Линейното уравнение с едно неизвестно е от вида ax + b = cx + d, където a, b, c, d са числа.

Алгоритъм

Стъпка 1. Премахни скобите (ако има) – прилагай разпределителното свойство.

Стъпка 2. Прехвърли членовете с неизвестното вляво, числата вдясно. При прехвърляне знакът се сменя.

Стъпка 3. Събери подобните членове от двете страни.

Стъпка 4. Раздели двете страни на коефициента пред x.

Стъпка 5. Провери – замести намерената стойност в изходното уравнение.

Пример за директно уравнение (лесно)

Задача: Реши уравнението 4x − 3 = 2x + 9.

Решение:

4x − 3 = 2x + 9
4x − 2x = 9 + 3
2x = 12
x = 6

Проверка: 4·6 − 3 = 2·6+9
24-3=12+9
21=21

Отговор: x = 6

Пример за уравнение със скоби (средна трудност)

Задача: Реши уравнението 3(x − 4) − 2(x + 1) = 5.

Решение:

3x − 12 − 2x − 2 = 5     (разкриваме скобите)
x − 14 = 5
x = 19

Проверка: 3(19 − 4) − 2(19 + 1) = 3·15 − 2·20 = 45 − 40 = 5

Отговор: x = 19

Пример за уравнение с формули за съкратено умножение (с повишена трудност)

Задача: Реши уравнението (x + 3)² − (x − 1)(x + 1) = 14.

Решение:

x² + 6x + 9 − (x² − 1) = 14     (развиваме по формули)
x² + 6x + 9 − x² + 1 = 14
6x + 10 = 14
6x = 4
x = 2/3

Проверка: (2/3 + 3)² − (2/3 − 1)(2/3 + 1) = 14
(11/3)² − (−1/3)(5/3) = 14
121/9 + 5/9 = 14
126/9 = 14
14=14

Отговор: x = 2/3

Забележи: Именно тук формулите за съкратено умножение са задължителни – без тях задачата е по-трудно решима.

Как се извършва съставянето на уравнения по условия

Това е ключовото умение за текстовите задачи. Процесът е:

1. Прочети внимателно – разбери за какво говори задачата.
2. Определи неизвестното – какво се търси? Означи го с x.
3. Изрази останалите величини чрез x.
4. Намери връзката (равенството) – то идва от условието на задачата.
5. Запиши уравнението и го реши.
6. Провери дали отговорът отговаря на условието (не само на уравнението).
7. Запиши отговора с думи.

Речник на „преводаческите“ фрази

Думи в условието	Математически запис
„с 5 повече от x“	x + 5
„с 3 по-малко от x“	x − 3
„2 пъти повече от x“	2x
„половината от x“	x/2
„сборът им е 40″	x + (…) = 40
„разликата им е 12″	x − (…) = 12 (по-голямото минус по-малкото)
„произведението им е 24″	x · (…) = 24
„5% от x“	0,05x
„увеличен с 20%“	1,2x
„намален с 15%“	0,85x

Типови задачи с уравнения за НВО

Тип 1. Намиране на число

Задачите от този вид описват число чрез неговите свойства.

Задача (лесна): Намери числото, ако утроената му стойност, намалена с 8, е равна на 13.

Решение: Нека числото е x.

3x − 8 = 13
3x = 21
x = 7

Проверка по условие: 3·7 − 8 = 13
21 − 8 = 13
13=13

Отговор: Числото е 7.

Задача (със средна трудност): Намери числото, ако четирикратно увеличено това число е с 6 по-голямо от петкратно увеличено същото число, но намалено с 20.

Решение: Нека числото е x.

4x = (5x − 20) + 6       (четирикратното е с 6 по-голямо)
4x = 5x − 14
4x − 5x = −14
−x = −14
x = 14

Проверка: 4·14 = 56
и 5·14 − 20 + 6 = 70 − 14 = 56

Отговор: Числото е 14.

Задача (със завишена трудност): Две числа са в отношение 2:7. Ако към по-малкото се прибави 15, а от по-голямото се извади 10, новите числа ще бъдат равни. Намери числата.

Решение:

Нека числата са 2k и 7k, където k ≠ 0.

Случай 1: k > 0

Тогава 2k < 7k, т.е. по-малкото е 2k, по-голямото е 7k.

2k + 15 = 7k − 10
15 + 10 = 7k − 2k
5k = 25
k = 5

k = 5 > 0 – съответства на допускането.

Числата са 2·5 = 10 и 7·5 = 35.

Проверка: 10 + 15 = 25
и 35 − 10 = 25 . Отношение: 10:35 = 2:7

Случай 2: k < 0

Тогава 2k > 7k, т.е. по-голямото е 2k, по-малкото е 7k.

2k − 10 = 7k + 15
−10 − 15 = 7k − 2k
5k = −25
k = −5

k = −5 < 0 – съответства на допускането. Проверяваме дали условието е изпълнено.

Числата са 2·(−5) = −10 и 7·(−5) = −35.

По-голямото е −10, по-малкото е −35.

Проверка: Към по-малкото (+15): −35 + 15 = −20. От по-голямото (−10): −10 − 10 = −20 . Отношение: (−10):(−35) = 2:7

Заключение: Задачата има две решения — 10 и 35 (при k > 0), и −10 и −35 (при k < 0).

Тип 2. Задачи за възраст

Задача (средна): Бащата е с 28 години по-голям от сина си. Преди 5 години бащата е бил 3 пъти по-голям от сина. На колко години са сега?

Решение: Нека сегашната възраст на сина е x години. Тогава бащата е x + 28 години.

Преди 5 години: синът е бил x − 5, бащата: x + 28 − 5 = x + 23.

x + 23 = 3(x − 5)
x + 23 = 3x − 15
x − 3x = −15 − 23
−2x = −38
x = 19

Синът е на 19 г., бащата е на 19 + 28 = 47 г.

Проверка: Преди 5 г.: синът на 14 г., баща на 42 г. 42 = 3·14

Отговор: Синът е на 19 години, бащата е на 47 години.

Тип 3. Задачи за движение

Ключовата формула е: разстояние = скорост × време, т.е. s = v · t.

Задача (със средна трудност) за насрещно движение: Два влака тръгват едновременно един срещу друг от градове А и Б, разстоянието между които е 360 км. Скоростта на единия е 80 км/ч, а на другия – 100 км/ч. След колко часа ще се срещнат?

Решение: Нека след x часа се срещнат.

80x + 100x = 360       (изминатите пътища заедно = 360 км)
180x = 360
x = 2

Проверка: 80·2 + 100·2 = 160 + 200 = 360

Отговор: Влаковете ще се срещнат след 2 часа.

Задача (със средна трудност) за движение в една посока:

Велосипедист тръгнал от А към Б с 15 км/ч. Два часа по-късно автомобил тръгнал по същия маршрут с 75 км/ч. След колко часа (от тръгването на колата) ще настигне велосипедиста?

Решение: Нека колата настигне велосипедиста след x часа от нейното тръгване. Тогава велосипедистът е вървял x + 2 часа.

75x = 15(x + 2)       (изминали са еднакво разстояние)
75x = 15x + 30
60x = 30
x = 0,5

Проверка: Велосипедистът: 15 · 2,5 = 37,5 км. Кола: 75 · 0,5 = 37,5 км .

Отговор: Автомобилът ще настигне велосипедиста след 30 минути.

Задача (с повишена трудност) за движение с различни скорости на отиване и връщане: Разстоянието от А до Б е 120 км. Автомобил изминал разстоянието от А до Б с 60 км/ч, а от Б до А – с 40 км/ч. Намери средната скорост за целия път.

Решение: Средната скорост не е средноаритметичното на двете скорости! Изчисляваме общото разстояние и общото време.

Общо разстояние = 120 + 120 = 240 км
Време А→Б: 120/60 = 2 ч
Време Б→А: 120/40 = 3 ч
Общо време: 2 + 3 = 5 ч
Средна скорост = 240/5 = 48 км/ч

Отговор: Средната скорост е 48 км/ч.

Типичната грешка тук: ученикът пресмята (60 + 40) / 2 = 50. Това е аритметично средно, не средна скорост.

Тип 4. Задачи за съвместна работа

Ключов момент: Ако едно лице свършва работата за a дни, то за 1 ден свършва 1/a от работата.

Задача (със средна трудност): Майстор А свършва дадена работа за 6 дни, а майстор Б – за 12 дни. За колко дни ще свършат работата заедно?

Решение: За 1 ден заедно свършват:

1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 от работата

Значи заедно ще свършат работата за 4 дни.

Алтернативен начин с уравнение: Нека работят x дни заедно.

x/6 + x/12 = 1
2x/12 + x/12 = 1
3x/12 = 1
x = 4

Отговор: Заедно ще свършат работата за 4 дни.

Задача (с повишена трудност): Кран А пълни резервоар за 8 часа. Кран Б го изпразва за 12 часа. Ако двата крана работят едновременно при пълен резервоар, след колко часа ще бъде изпразнен?

Решение: Кран А пълни резервоара за 8 часа, което означава, че скоростта му на пълнене е $\frac{1}{8}$​ от резервоара на час. Кран Б изпразва резервоара за 12 часа, тоест скоростта му на изпразване е $\frac{1}{12}$​ от резервоара на час. Когато двата крана работят едновременно, нетната скорост на промяна на количеството вода в резервоара е разликата между скоростта на пълнене и скоростта на изпразване:$$\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{3}{24}-\frac{2}{24}=\frac{1}{24}\text{ резервоара на час}\mathrm{.}$$​

Тъй като тази скорост е положителна, резервоарът се пълни, а не изпразва. При начално пълен резервоар, той никога няма да бъде изпразнен, а ще прелее.

Както виждаш, в тази задача има уловка.

Анализ на първоначалното състояние

• Резервоарът започва процеса напълно пълен.
• Тъй като входящият поток е по-силен, водата ще остане на максимално ниво.
• Излишното количество вода ще прелива извън съда.

Забележка: Ако в условието на задачата има техническа грешка и целта е била да се намери за колко часа празен резервоар ще се напълни, тогава отговорът е точно 24 часа.

Тип 5. Задачи с дроби и части

Задача (със средна трудност): 2/5 от едно число е с 6 по-малко от 1/3 от него. Намери числото.

Решение: Нека числото е x.

1/3 · x − 2/5 · x = 6
5x/15 − 6x/15 = 6
−x/15 = 6
x = −90

Проверка: (1/3)·(−90) = −30, (2/5)·(−90) = −36. Разликата: −30 − (−36) = 6

Отговор: Числото е −90.

Тип 6. Задачи с лихва и проценти (линеен модел)

Задача (със средна трудност): В банка е вложена сума, която след 1 година при 5% годишна лихва е нараснала до 2100 €. Каква е началната сума?

Решение: Нека началната сума е x €.

x + 0,05x = 2100
1,05x = 2100
x = 2000

Проверка: 2000 + 0,05·2000 = 2000 + 100 = 2100

Отговор: Началната сума е 2 000 €.

Тип 7. Геометрични задачи с уравнение

Задача (със средна трудност): Периметърът на правоъгълник е 56 см. Едната страна е с 8 см по-дълга от другата. Намери страните.

Решение: Нека по-късата страна е x см, а по-дългата: x + 8 см.

2(x + x + 8) = 56
2(2x + 8) = 56
2x + 8 = 28
2x = 20
x = 10

По-кратка страна: 10 см, по-дълга: 18 см.

Проверка: 2·(10 + 18) = 2·28 = 56

Отговор: Страните на правоъгълника са 10 см и 18 см.

Задача (с повишена трудност): Страната на квадрат е с 3 см по-голяма от страната на друг квадрат. Разликата между лицата им е 51 кв.см. Намери страните на двата квадрата.

Решение: Нека по-малкият квадрат е със страна x см, по-големият – със страна x + 3 см.

(x + 3)² − x² = 51
x² + 6x + 9 − x² = 51
6x + 9 = 51
6x = 42
x = 7

По-малкият квадрат има страна 7 см, по-големият: 10 см.

Проверка: 10² − 7² = 100 − 49 = 51

Отговор: Страните са 7 см и 10 см.

Как да запишеш пълно решение за максимален брой точки

Проверителите дават точки не само за верен отговор, а и за правилно оформено решение. Ето как изглежда пълното решение:

Нека (условно обозначение) = x (мерна единица, ако има).
Тогава (другите величини) = … (изразени чрез x).

По условие: (уравнение).

Решение на уравнението:
…
x = …

Проверка: (замества се и се потвърждава).

Отговор: … (с думи, включително мерна единица).

Задължителни елементи:

• Въведение на неизвестното (Нека x = …).
• Съставено уравнение.
• Решение с ясни стъпки.
• Проверка по условие (не само по уравнението).
• Отговор с думи.

Най-честите грешки при задачи с уравнения

Грешка	Защо е проблем	Как да я избегнеш
Прехвърляне без смяна на знак	Води до невярно решение	При прехвърляне – смени знака
Умножение на скоба без разпределение	Напр. 3(x + 2) ≠ 3x + 2	Умножи по всеки член
Проверка само в уравнението, не в условието	Открива грешки в съставянето	Замести x в текста на задачата
Грешна дефиниция на x	Ако x = „по-малката страна“, а пишеш x + 3 за нея	Прочети отново кое си означил с x
Средна скорост ≠ средно на скоростите	Класическа грешка в задачи за движение	Изчислявай: общ път ÷ общо време
Забравяне на мерна единица в отговора	Губиш точка	Пиши: „x = 12 км„, „x = 5 часа„

Кога не съставяш уравнение, а решаваш аритметично

Не всяка задача изисква уравнение. Ако можеш да намериш отговора директно с аритметични операции, тогава направи го така. Уравнението е инструмент, не задължение. Но ако задачата казва „състави уравнение и го реши“, тогава задължително следвай тази инструкция, дори аритметичният начин да ти изглежда по-лесен.

Как да се подготвиш за тази тема преди НВО

Стъпка 1: Увери се, че можеш да решиш линейно уравнение без грешка, дори тези с дроби и скоби.

Стъпка 2: Научи „речника“ на преводаческите фрази (таблицата по-горе).

Стъпка 3: Реши поне по 2–3 задачи от всеки тип: намиране на число, движение, работа, проценти.

Стъпка 4: Тренирай да записваш пълното решение – с въведение, уравнение, стъпки, проверка и отговор.

Стъпка 5: Реши задачи от минали НВО изпити (публикувани от МОН). Провери дали отговорите ти съвпадат.

Виж пример: МОДЕЛ
НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ
ПО МАТЕМАТИКА В VII КЛАС
ЗА УЧЕБНАТА 2024 – 2025 ГОДИНА

Честo задавани въпроси (FAQ)

Заключение

Задачите с уравнения изглеждат трудни до момента, в който разбереш, че имат структура. Прочиташ условието, определяш неизвестното, изразяваш всичко чрез него, намираш равенството – и съставяш уравнението. Всичко останало е техника, която вече знаеш.