Задачи от смеси и сплави, работа и др. за НВО, 7-ми клас

След задачите за движение и тези с проценти, в учебната програма за 7-ми клас идва най-практичната група текстови задачи – тези, в които математиката излиза извън учебника и влиза в реалния свят: смесване на разтвори и сплави, съвместна работа на двама работници, банкова лихва и капитал. Това са любимите задачи от смеси и сплави на съставителите на НВО, защото с една и съща техника – моделиране с линейно уравнение – се проверяват едновременно процентите, пропорциите и логическото мислене.

В това ръководство ще откриеш универсалната таблична техника, която работи и за трите типа задачи, всички формули, които трябва да знаеш наизуст, и пълни решения на десет задачи в стил НВО.

За общата техника на превод от условие в уравнение виж Как се решават текстови задачи по математика за НВО за 7-ми клас (пълно ръководство с примери), а за процентната основа на смесите – Задачи с проценти за НВО по математика: пълно ръководство с примери за 7-ми клас.

Задачи от смеси и сплави, работа и практико-приложни ситуации за НВО, 7-ми клас – пълно ръководство

Съдържание на тази страница:

Защо тези три типа задачи са в един раздел

На пръв поглед сместа от два разтвора, двама работници, които копаят един изкоп заедно, и капиталът в банка нямат нищо общо. Но математически са огледални:

При смесите събираме количества вещество от два разтвора.
При работата събираме „части от работа“, изпълнени за единица време.
При капитала събираме главница и лихва.

И в трите случая работи едно и също универсално равенство: сборът от частите = цялото. Това е и причината в учебниците тези теми да са в един раздел – „Моделиране с линейни уравнения“.

Задачи от смеси и сплави

Какво е „концентрация“

Концентрацията p на даден разтвор е отношението на чистото вещество към общата маса на разтвора, изразено в проценти:

p = (маса на чистото вещество / обща маса на разтвора) · 100%

Например в 200 г разтвор със 15% сол има 0,15 · 200 = 30 г сол и 170 г вода.

При сплавите концентрацията се отнася за съдържанието на даден метал – например „сплав с 60% мед“ означава, че 60% от масата на сплавта е мед.

Универсалното правило за смесване

Когато смесим два разтвора, масата на чистото вещество в сместа е равна на сумата от масите на чистото вещество в двата компонента.

Това е единствената формула, която ти трябва. От нея излизат всички задачи.

Табличната техника е задължителен рефлекс

За всяка задача от смеси си чертай таблица с три реда (двата разтвора + сместа) и три колони:

	Маса на разтвора	Концентрация	Маса на чистото вещество
Разтвор 1	m₁	p₁	m₁ · p₁ / 100
Разтвор 2	m₂	p₂	m₂ · p₂ / 100
Смес	m₁ + m₂	p	(m₁ + m₂) · p / 100

Уравнението винаги е едно и също:

m₁ · p₁ / 100 + m₂ · p₂ / 100 = (m₁ + m₂) · p / 100

След умножение по 100 знаменателите изчезват и получаваш:

m₁ · p₁ + m₂ · p₂ = (m₁ + m₂) · p

Пример 1 – класическа смес от два разтвора

Колко грама воден разтвор с 20% сол трябва да се смесят с 300 г воден разтвор с 5% сол, за да се получи разтвор с 10% сол?

Полагаме: Нека търсената маса е x грама.

Таблица:

	Маса (г)	Концентрация (%)	Маса на солта (г)
Разтвор 1	x	20	0,20x
Разтвор 2	300	5	15
Смес	x + 300	10	0,10(x + 300)

Уравнение: 0,20x + 15 = 0,10(x + 300)

Решение: 0,20x + 15 = 0,10x + 30
0,10x = 15
x = 150 г.

Проверка: В 150 г от първия разтвор има 30 г сол; в 300 г от втория има 15 г сол. Общо 45 г сол в 450 г смес → 45/450 = 0,10 = 10%.

Пример 2 – разреждане с чиста вода

Колко литра вода трябва да се добавят към 60 л разтвор с 25% спирт, за да се получи разтвор с 15% спирт?

Ключово наблюдение: Водата е „разтвор с 0% спирт“. Количеството чист спирт не се променя при добавянето на вода.

Полагане: Нека x литра вода се добавят.

Уравнение (спиртът остава същият): 0,25 · 60 = 0,15 · (60 + x)

15 = 9 + 0,15x
0,15x = 6
x = 40 л.

Проверка: В 100 л разтвор има 15 л спирт → 15%.

Пример 3 – изпаряване (намаляване на разтворителя)

От 80 г разтвор с 6% сол се изпари част от водата и остана разтвор с 10% сол. Колко грама вода се изпариха?

Забележка: При изпаряване количеството сол не се променя – изпарява се само водата.

В началото има 0,06 · 80 = 4,8 г сол.

Нека крайната маса на разтвора е m г. Тогава 0,10m = 4,8
m = 48 г.

Изпарили са се 80 − 48 = 32 г вода.

Пример 4 – сплав от три метала

Сплав съдържа 45% мед, 30% цинк и останалото калай. Колко грама от всеки метал има в 400 г от сплавта?

Мед: 0,45 · 400 = 180 г
Цинк: 0,30 · 400 = 120 г
Калай: 400 − 180 − 120 = 100 г (или 25% от 400)

Проверка: 180 + 120 + 100 = 400

Пример 5 – смесване на две сплави

Сплав 1 съдържа 70% мед, сплав 2 – 40% мед. Колко грама от всяка трябва да се вземат, за да се получат 600 г сплав със 60% мед?

Полагане: Нека x г от сплав 1; тогава (600 − x) г от сплав 2.

Уравнение: 0,70x + 0,40(600 − x) = 0,60 · 600

0,70x + 240 − 0,40x = 360
0,30x = 120
x = 400 г.

Сплав 1: 400 г; сплав 2: 200 г.

Проверка: 0,70 · 400 + 0,40 · 200 = 280 + 80 = 360 = 0,60 · 600.

Задачи за съвместна работа

Основната идея – „част от работата за единица време“

Ако един работник свърши цялата работа за t часа, то за 1 час той свършва 1/t част от работата. Тази дроб се нарича производителност (или интензивност).

Когато двама работят заедно, техните производителности се събират:

1 / t₁ + 1 / t₂ = 1 / t_общо

Тук t₁ и t₂ са времената, за които всеки работник сам би свършил работата, а t_общо – времето, за което я свършват заедно.

Защо тази формула работи

За 1 час първият свършва 1/t₁ от работата, вторият – 1/t₂. Заедно за 1 час свършват 1/t₁ + 1/t₂ от работата. Ако заедно свършват цялата работа за t_общо часа, то за 1 час свършват 1/t_общо от нея. Оттук равенството.

Пример 6 – двама работници заедно

Иван може да изкопае един изкоп за 6 часа, а Петър – за 12 часа. За колко часа ще го изкопаят заедно?

Уравнение: 1/6 + 1/12 = 1/t

Привеждаме към общ знаменател 12: 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4.

Значи 1/t = 1/4 → t = 4 часа.

Проверка с „части от работата“: За 4 часа Иван свършва 4/6 = 2/3 от работата, Петър свършва 4/12 = 1/3. Заедно: 2/3 + 1/3 = 1 (цялата работа).

Къде може да се сбърка: Често ученици събират самите времена и получават „6 + 12 = 18 часа“ или ги осредняват „(6+12)/2 = 9 часа“. И двата отговора са грешни – производителностите се събират, не времената.

Пример 7 – единият започва, другият се присъединява

Един кран пълни басейн за 8 часа, друг – за 12 часа. Първият работи сам 4 часа, после се включва и вторият. За колко часа след това басейнът ще е пълен?

Анализ: За 4 часа първият е напълнил 4/8 = 1/2 от басейна. Остава 1/2.

Заедно за 1 час пълнят 1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24 от басейна.

За да напълнят оставащата 1/2: t = (1/2) / (5/24) = (1/2) · (24/5) = 12/5 = 2,4 часа = 2 ч 24 мин.

Пример 8 – „с обратен знак“ (изтичане)

Един кран пълни басейн за 6 часа, а отворен отток го изпразва за 9 часа. За колко часа ще се напълни басейнът, ако кранът работи и оттокът не е затворен?

Внимание: Оттокът работи срещу пълненето, следователно знакът му е отрицателен.

За един час кранът пълни 1/6 от басейна, а изпразващият кран за един час изпразва 1/9 от басейна. Т.е. за 1 час басейнът получава 1/t от обема си. Следователно ще се напълни за t часа при тези условия.

1/6 − 1/9 = 1/t

Общ знаменател 18: 3/18 − 2/18 = 1/18 → t = 18 часа.

Проверка: За 18 ч кранът налива 18/6 = 3 басейна; оттокът изпуска 18/9 = 2 басейна. Остава 3 − 2 = 1 басейн.

Задачи за капитал и проста лихва

Основни понятия

Главница (капитал) K – вложената или взетата сума.
Лихвен процент p – процент за определен период (обикновено за година).
Лихва I – сумата, с която главницата нараства.
Натрупана сума S – главницата плюс лихвата: S = K + I.

Формула за проста лихва

При простата лихва лихвата се изчислява всеки период върху една и съща главница (не върху натрупаната сума).

Лихвата тук е:

I = K · p · n / 100

където n е броят периоди (години).

Тогава натрупаната сума е:

S = K · (1 + p · n / 100)

Кога е проста и кога сложна лихва

В учебната програма за 7. клас се разглежда само простата лихва. Сложната лихва (където лихвата се капитализира) е тема за по-горните класове. На НВО не се очаква да я ползваш – но трябва да знаеш разликата, защото някои задачи я споменават като „капан“.

За подробности виж раздела за сложна лихва в Задачи с проценти за НВО по математика: пълно ръководство с примери за 7-ми клас.

Пример 9 – проста лихва за няколко години

Вложени са 2000 €. при 4% годишна проста лихва. Каква ще е натрупаната сума след 3 години?

I = 2000 · 4 · 3 / 100 = 240 €

S = 2000 + 240 = 2240 €

Или директно: S = 2000 · (1 + 0,04 · 3) = 2000 · 1,12 = 2240 €.

Пример 10 – обратна задача (намиране на главницата)

При проста лихва от 5% годишно за 4 години натрупаната сума е 1200 €. Каква е била главницата?

S = K · (1 + 0,05 · 4) = 1,2K

1,2K = 1200 → K = 1000 €.

Универсален алгоритъм за всички три типа задачи

Без значение дали са задачи от смеси и сплави, работа или капитал, схемата е една и съща:

Прочети условието два пъти. Веднъж за смисъла, втория път за числата.
Идентифицирай типа задача. Има ли проценти и две вещества? – смес. Има ли „за колко часа“ и двама? – работа. Има ли пари, лихва, банка? – капитал.
Полагане: въведи неизвестното x – маса на разтвор, време за съвместна работа или главница.
Чертай таблицата (за смеси) или запиши производителностите (за работа).
Запиши уравнението според универсалното правило за дадения тип.
Реши уравнението – обикновено линейно.
Провери: замени x в условието и виж дали логически излиза.
Запиши отговора с мерна единица – грамове, литри, часове, евро.

Виж примери от задачи от минали години: МОДЕЛ
НА НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ
ПО МАТЕМАТИКА В VII КЛАС
ЗА УЧЕБНАТА 2024 – 2025 ГОДИНА

Таблица с десет капана при тези задачи

#	Капан	Защо греши ученикът	Как да го избегнеш
1	Смесване на концентрации „по средата“	Смята, че смес от 20% и 10% дава 15% независимо от количествата	Концентрацията на сместа зависи от масите на двата разтвора
2	Забравя се, че при разреждане с вода чистото вещество не се променя	Прилага се формулата така, сякаш и водата има концентрация	Водата е „0% разтвор“ – тя влиза само в общата маса
3	Объркване на „изпарение“ и „разреждане“	Смята, че при изпаряване нещо се добавя	При изпаряване изчезва вода, веществото остава същото
4	Събиране на времената при съвместна работа	„Иван за 6 ч, Петър за 12 ч → заедно за 18 ч“	Събират се производителностите (1/t), а не времената
5	Осредняване на времената	„Средно (6+12)/2 = 9 часа заедно“	Средното аритметично не работи за съвместна работа
6	Объркване на знаците при изтичане	Събира производителностите на крана и оттока	Оттокът работи срещу пълненето – изважда се
7	Пресмятане на проста лихва върху натрупаната сума	Прилага формула за сложна лихва, без да я познава	За 7-ми клас лихвата винаги е върху първоначалната главница
8	Объркване на „процент“ и „процентен пункт“	„Лихвата нарасна от 4% на 6%, значи с 2%“	Това е нарастване с 2 процентни пункта, но с 50% като процент
9	Забравя се мерната единица	Записва само число без г/л/ч/€	На НВО без мерна единица отговорът губи точка
10	Несравними мерни единици в задача за смеси	Едното количество е в килограми, другото в грамове	Приведи всичко в една и съща единица преди уравнението

Връзка с останалите типове задачи в НВО

Задачите от тази тема рядко идват „чисти“ – често се комбинират с други типове:

Със задачи за движение: „Кораб плава по течението със скорост 20 км/ч, а срещу течението с 12 км/ч…“ – виж Задачи за движение по математика за НВО в 7-ми клас: пълно ръководство с примери.
С процентни изчисления: Всяка смес и сплав минава през проценти – виж Задачи с проценти за НВО по математика: пълно ръководство с примери за 7-ми клас.
С геометрични фигури: При изчисляване на маса на сплав в дадена форма се използват и формули за обем – чака публикуване.

Често задавани въпроси (FAQ)

Как да позная коя задача от кой тип е?

Чети ключовите думи.
„Разтвор“, „сплав“, „процент“, „концентрация“ → смес.
„За колко време заедно“, „работник“, „кран“, „басейн“ → работа. „Главница“, „лихва“, „банка“, „годишно“ → капитал.
Ако в задачата има два различни типа едновременно, реши я на части.

Може ли да реша задача за смес без таблица?

Може, но таблицата е застраховка срещу логически грешки. На НВО, където времето е малко и натискът е голям, една ясна таблица често спасява пълни 4 точки.

Защо се събират производителностите, а не времената?

Защото производителността е „част от работата за единица време“. Ако за 1 час двама свършат по 1/6 и 1/12 от работата съответно, заедно за 1 час ще свършват сбора от двете стойности. Това е същата логика, по която се събират скорости в задачи за движение.

Има ли разлика между смес и сплав?

Не. Математически са идентични – „количество от вещество в общо количество“. Разликата е само в контекста: сместа обикновено е течна (разтвор), сплавта е твърда (метал).

Простата лихва ще влезе ли в задачите на НВО?

Да – задачите за капитал и проста лихва са в учебно-изпитната програма за 7-ми клас. Сложна лихва не се изисква, но е добре да знаеш разликата, за да не се объркаш, ако в условието е спомената.

Какви капани да очаквам в условията на изпита?

Най-честите капани са два: дадени мерни единици в различни системи (грамове срещу килограми, минути срещу часове) и сменени роли в обратната задача („дадена е натрупаната сума, търси се главница“). И с двата човек ще се справи с внимателно четене.

Заключение

Задачи от смеси и сплави, работа и капитал са любимото поле за съставителите на НВО, защото в тях се събират едновременно процентите, пропорциите и линейните уравнения. Но именно затова те имат и една обединяваща схема – табличен подход и уравнение тип „сборът от частите = цялото“.

Когато на изпита видиш разтвор, басейн или банков влог, не се паникьосвай. Направи таблицата, запиши производителността или формулата за лихва, и уравнението ще се появи само. Грешките идват не от формулата, а от пропуснатите проценти, обърнатите единици или забравената проверка.

Прочети и: